С постоянными коэффициентами

Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для ДУ с постоянными коэффициентами такой метод существует.

Определение 2.5.ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами называется ДУ вида

, (2.3)

где и - постоянные действительные числа.

Для нахождения общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами достаточно найти два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде , где - некоторое число (предложено Л.Эйлером). Тогда

, .

Подставляем полученные выражения производных в уравнение (2.3), получаем:

.

Так как , то .

Следовательно, если будет удовлетворять полученному приведенному квадратному уравнению, то будет решением уравнения (2.3).

Уравнение называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (2.3).

Поскольку характеристическое уравнение является квадратным уравнением, то возможны следующие случаи по наличию корней:

1. и - два различных действительных корня;

2. и - два равных действительных корня;

3. и - два комплексных корня;

Рассмотрим каждый случай отдельно.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны: .

В этом случае частными решениями будут функции и . Эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение имеет вид

. (2.4)

II. Корни характеристического уравнения действительны и равны: .

В этом случае частными решениями будут функции и (можно убедиться, подставив функцию в исходное ДУ). Эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение имеет вид

. (2.5)

III. Корни характеристического уравнения комплексные числа: и .

Общее решение имеет вид

. (2.6)

Пример 2.3. Решить ЛОДУ второго порядка: .

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

.

Находим корни характеристического уравнения: и .

Общее решение примет вид

.

,

Пример 2.4. Решить ЛОДУ второго порядка: .

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

.

Находим корни характеристического уравнения: .

Общее решение примет вид

.

,

Пример 2.5. Решить задачу Коши для ЛОДУ второго порядка:

при начальных условиях

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

.

Находим корни характеристического уравнения: и .

Общее решение примет вид

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Определим соответствующие значения и . Сначала найдем :

.

Далее получаем

Þ .

Таким образом, частное решение: .

,

Пример 2.6. Решить ЛОДУ второго порядка: .

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

.

Находим корни характеристического уравнения: и .

Общее решение примет вид

.

,