Однородные ДУ первого порядка

 

Определение 1.9. Функция называется однородной функцией -го порядка (измерения) относительно переменных и , если при любом справедливо тождество

.

 

Например, функция - однородная функция первого порядка (измерения), так как .

Функция - однородная функция второго порядка, так как .

Функция - есть однородная функция нулевого порядка, так как

.

 

Определение 1.10. ДУ первого порядка

(1.3)

называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого порядка относительно и .

 

Однородные ДУ преобразуются в ДУ с разделяющимися переменными путем подстановки и . Находим его общее решение (или общий интеграл). Затем следует заменить в нем на . Получаем общее решение (или общий интеграл) исходного уравнения.

 

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

(1.4)

где и - однородные функции одинакового порядка.

Общее решение или общий интеграл ДУ (1.4) находится по той же схеме, как и для однородного ДУ (1.3).

 

Пример 1.6. Решить ДУ: .

Решение. Данное уравнение является однородным, т.к. функции и - однородные функции второго порядка.

Сделав подстановку и , получаем:

.

Последнее уравнение является ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, получаем:

.

После интегрирования и преобразования имеем:

.

Заменяем на , получаем - общий интеграл исходного уравнения.

,

Замечание. Уравнение вида , где - числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводят новые переменные и , положив , , где и - числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.

 

Линейные уравнения

 

Определение 1.11. ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

, (1.5)

где и -заданные функции, или в частном случае – постоянные.

 

Особенность ДУ (1.5): искомая функция и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Для решения линейного ДУ первого порядка используют метод И.Бернулли.

 

Метод И.Бернулли

 

Решение уравнения (1.5) находится в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки , где и - неизвестные функции от . Тогда . Подставляя выражения и в уравнение (1.5), получаем

или

. (*)

 

Подбираем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решается ДУ . Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, т.е. . После интегрирования и преобразований получаем

.

Ввиду свободного выбора функции , можно принять .

Подставляем найденную функцию в уравнение (*), получаем

.

 

Получившееся уравнение является также ДУ с разделяющимися переменными. Решаем его и находим функцию :

.

Далее находим функцию по формуле

или

.

 

Пример 1.7. Решить задачу Коши:

.

Решение. 1) Применим подстановку и . Далее имеем

.

.

 

2) Полагаем . Откуда . Интегрируем последнее уравнение, получаем

,

.

 

3) Для определения имеем следующее уравнение . Откуда находим

, Þ , Þ .

 

4) Умножая на , получаем общее решение данного уравнения

.

5) Используя начальное условие , имеем

Þ .

Следовательно, частное решение исходного уравнения примет вид

. ,

Замечание. Уравнение вида , где - заданные функции, можно свести к линейному, если считать функцией, а - аргументом, т.е. .Тогда, используя равенство , после преобразования, получаем - линейное относительно уравнение. Его решение находят в виде , где и - неизвестные функции от .

 

Пример 1.8. Найти общее решение ДУ: .

Решение. Учитывая, что , от исходного уравнения переходим к линейному уравнению .

Применим подстановку , тогда . Получаем

или

.

Находим функцию : Þ .

Находим функцию :

Þ Þ .

Значит, общее решение данного уравнения:

или

.

,