Порядок выполнения задания

1. В меню Math установите режим автоматических вычислений.

2. Определите функцию f(x).

3. Используя символьную математику пакета, найдите

4. Постройте график функции в окрестности точки х = а.

Пример выполнения задания

НЕПРЕРЫВНОСТЬ И РАЗРЫВЫ ФУНКЦИИ

Классификация разрывов

Рассмотрим функцию f(x), определенную на некотором промежутке

(а, b) Î R.

Функция f(x) непрерывна в точке x₀ Î (а, b), если предел функции в точке x₀ равен значению функции в этой точке:

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка (а, b), называется непрерывной на промежутке. Если функция f(x) определена на промежутке (а, b), b > а, то при исследовании поведения функции в окрестности точки а имеет смысл говорить о пределе функции f(x) в точке а справа, а при исследовании в окрестности точки b –о пределе функции f(x) в точке b слева. Число А называется пределом справа функции f(x) при x, стремящемся к а, если для любого положительного числа e, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих неравенству a < x < а + d, справедливо неравенство |f(x)– A| <e. В таких случаях говорят "предел справа функции f(x) в точке а" и обозначают .

Аналогично, говорят "предел слева функции f(x) в точке b" и обозначают , если для любого положительного числа e, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих неравенству, справедливо неравенство |f(x)– B |< e.

Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и совпадали односторонние пределы функции в этой точке.

По той же схеме вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Функция, определенная на отрезке [a, b], b>a, непрерывна справа в точке а, если и непрерывна слева в точке b, если . Для того чтобы функция была непрерывна в точке x_o , необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы функции в точке совпадали со значением функции в этой точке: . Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке x₀. Если и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке x_o называется устранимым. Если , , и оба односторонних предела конечны, то говорят о скачке функции в точке. Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода.

Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода.

Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

ЗАДАНИЕ 10

Найдите точки разрыва заданных функций и определите их тип.