Предел функции в точке

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Вычисление пределов

Большинство инструментов для решения задач математического ана­лиза в Mathcad собрано в панелиCalculus (Анализ), которая откры­вается щелчком по кнопке в панели математических инструментов. Вид панели – на рис.1.

Рис. 1. Панель инструментовCalculus

Три нижние кнопки в панели предназначены для вычисления пределов. Кнопкой в рабочий документ вставляется оператор вычи­сления предела функции в точке или на бесконечности, кнопками и – операторы вычисления односторонних пределов соответственно справа и слева.

Для того чтобы вычислить предел, щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем щелкните по нужной кнопке, введите с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение допредельной функции и предельной точки, выделите все выражение и щелкните по строкеSymbolically в пункте Evaluate в менюSymbolics (или щелкните по кнопке в панели символьных операций .

Указание. Установите режим автоматических вычислений и режим отобра­жения результатов символьных вычислений по горизонтали. Для ввода символа квадратного корня и экспоненты используйте панель калькулятора. При вычи­слении пределов последовательностей определяйте элемент последовательности как функцию номера элемента и вычисляйте предел на бесконечности.

Предел функции в точке

Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности (а ± D) точки а, D > 0, за исключением, быть может, самой точки а.

Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к a, если для любого положительного числа e, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих соотношению

0 < |х – а| < d, справедливо неравенство |f(x)– A| <e. Говорят "предел функции f(x) в точке а" и обозначают .

Неравенства |f(x) – А| < e и 0 < |х – а| < d, эквивалентные неравенствам А – e < f(x) < А + e, а – d < x < а + d, x ¹ а, означают, что для любого e >0 существует такое d, что для a – d < x < а + d график функции f(x) расположен на плоскости хОу в прямоугольнике а – d < х < а + d, А – e < у < А + e.

При вычислениях на компьютере мы имеем дело с дискретными значениями переменных. Поэтому удобнее пользоваться другим, эквивалентным приведенному, определением предела, а именно: , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента {x_n}, x_п ¹ а, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к числу А.

Если , то для любого e > 0 существует такое d, что точки с координатами (x_п, f(x_n)), для которых а – d < x_п < а + d и x_n ¹ а, находятся на плоскости хОу внутри прямоугольника а – d < х < а + d, А – e < у < А + e.

ЗАДАНИЕ 9

Найдите предел функции f(x) в точке х = а. Изобразите графически поведение функции в окрестности точки х = а.