Определение времени опорожнения резервуаров

Закономерности истечения вязкой несжимаемой жидкости через отверстия в стенках сосудов имеют важное приложение к задачам практики в нефтяной промышленности. Это, прежде всего, задачи о времени опорожнения всевозможных резеруаров и подвиженых емкостей.

Покажем, как, например, вычислить время истечения жидкости из резервуара, форма которого известна. Рассмотрим случай, когда жидкость вытекает в атмосферу через отверстие площадью в дне сосуда. Давление на свободной поверхности принимается равным атмосферному (рис. 10.9).

Рис. 10.9. Расчет времени опорожнения резервуара

Движение жидкости в рассматриваемом случае является неустановившимся, т. к. напор изменяется с течением времени, а, следовательно, меняется и расход вытекающей жидкости. В тех случаях, когда истечение жидкости происходит медленно, можно пользоваться гипотезой последовательной смены стационарных состояний.

Смысл этой гипотезы состоит в том, что если уровень жидкости в сосуде меняется медленно, то истечение жидкости в течение каждого интервала времени можно считать установившимся и пользоваться формулой, полученной для расхода жидкости при постоянном напоре

полагая в ней величину равной значению напора в данный момент времени. Таким образом:

. (10.22)

За малый интервал времени уровень жидкости в сосуде уменьшится на величину . Если площадь свободной поверхности жидкости в сосуде обозначить через , то объем жидкости, соответствующий уменьшению уровня жидкости на величину , дается выражением

, (10.23)

причем знак минус в этой формуле берется потому, что при .

Объем жидкости, вытекающей из сосуда, можно выразить по-другому, через расход :

.

Подставляя вместо его выражение, согласно, (10.22), получаем

. (10.24)

Сравнивая (10.23) и (10.24), находим:

,

или

. (10.25)

Для определения времени опорожнения резервуара от уровня до уровня проинтегрируем обе части уравнения (10.25): левую часть по от 0 до и правую часть по H от до . Получим:

(10.26)

Коэффициент , входящий в эту формулу, зависит, вообще говоря, от числа Рейнольдса , которое определяется переменной во времени величиной напора . Поэтому в общем случае интеграл в формуле (10.20) следует вычислять с учетом зависимости . Однако для многих, не слишком вязких жидкостей, величина коэффициента расхода остается постоянной на протяжении всего времени истечения. Рассмотрим случай, когда коэффициент расхода постоянен, тогда:

(10.27)

Если резервуар имеет постоянную площадь сечения (например, призматический резервуар, рис.10.10), то из (10.27) получим:

.

В частности, время полного опорожнения призматического резервуара от уровня до уровня определится по формуле:

(10.28)

В формуле (10.28) в числителе стоит удвоенный объем резервуара, а в знаменателе — расход жидкости из отверстия при постоянном напоре , поэтому

Таким образом, если умножить расход при постоянном напоре на время истечения, то получим удвоенный объем резервуара. Следовательно, для истечения количества жидкости, равного объему резервуара, при переменном уровне требуется время в два раза больше того, за которое вытекает то же количество жидкости при постоянном напоре, равном начальной высоте уровня жидкости в резервуаре.

Пример.Задача об определении времени истечения жидкости из цистерны. Требуется найти время опорожнения круглой горизонтальной цистерны с длиной и радиусом , рис. (10.10) и рис. (10.11).

Площадь опускающейся свободной поверхности жидкости в цистерне записывается в виде

где ,

тогда

(10.29)

Определим время полного опорожнения цистерны, при котором уровень жидкости будет уменьшаться от до . Из общей формулы (10.26) с учетом выражения (10.29) для получим:

. .(10.30)