Необходимые и достаточные условия независимости случайных величин

Теорема:Для того, чтобы случайные величины Х, Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (Х, Y) была равна произведению функций распределения составляющих: F(x,y)=F₁(x) F₂(y)

Доказательство: а) Необходимость. Пусть Х и Y независимы. Тогда события X<x и Y<y независимы, следовательно, вероятность совмещения этих событий равна произведению их вероятностей:

P(X<x , Y<y) =P(X<x ) P(Y<y) или F(x,y)=F₁(x) F₂(y).

б) Достаточность. Пусть F(x,y)=F₁(x) F₂(y). Отсюда P(X<x , Y<y) =P(X<x ) P(Y<y), т.е. вероятность совмещения событий X<x и Y<y равна произведению вероятностей этих событий. Следовательно, случайные величины X и Y независимы.

Следствие: Для того чтобы непрерывные случайные величины Х и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (Х,Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих: f(x,y)=f₁(x) f₂(y). Доказательство: а) Необходимость. Пусть Х и Y - независимые непрерывные случайные величины. Тогда (на основании предыдущей теоремы): F(x,y)=F₁(x) F₂(y). Дифференцируя это равенство по х, а потом по y, имеем: , или (по определению плотностей распределения двумерной и одномерной величин) f(x,y)=f₁(x) f₂(y).

б) Достаточность. Пусть f(x,y)=f₁(x) f₂(y). Интегрируя это равенство по х, а потом по y, получим:

или F(x,y)=F₁(x) F₂(y). Следовательно, Х и Y независимы.

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики: корреляционный момент и коэффициент корреляции. Корреляционным моментом случайных величин Х и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу: , а для непрерывных величин – формулу: . Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y. Корреляционный момент =0, если X и Y независимы.

Теорема: Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y =0.

Доказательство: Т.к. Х и Y – независимые случайные величины, то их отклонения X-M(X) и Y-M(Y) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (мат. ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получаем: =0. Из определения корреляц.момента следует, что он имеет размерность , равную произведению размерностей величин Х и Y.

Коэффициент корреляции r_xy случайных величин Х иY - это отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин: . Так как размерность момента корреляции равна произведению размерностей величин X и Y, имеет размерность величины X, а - размерность величины Y, то r_xy – безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Теорема: Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий: . Доказательство: Введем в рассмотрение случайную величину и найдем ее дисперсию D(Z₁)= . Выполнив выкладки, получим . Любая дисперсия неотрицательна, поэтому . Отсюда (1). Введя случайную величину , аналогично найдем (2). Теперь объединим (1) и(2): (3) или . И таким образом, .

Теорема:Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы: .

Доказательство: Разделим обе части двойного неравенства (3) на произведение положительных чисел

: -1 . Итак, .