Привести схему разложения многочлена на множители

Вопросы к зачету по курсу «Высшая математика»

Для студентов специальности ПОИТ

Курс 2 семестр

Записать комплексное число в алгебраической форме

I = a + jb

Записать комплексное число в тригонометрической форме

чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

z=r(cosα+isinα)

Записать комплексное число в показательной форме

z=ze^jφ

Как определить модуль и аргумент комплексного числа?

Модуль комплексного числа обозначается и определяется выражением

Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу , называется аргументом числа и обозначается .

§ Из этого определения следует, что ; ; .

§ Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до , где — любое целое число.

§ Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается ^[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: .

Записать формулу Муавра

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

Записать формулу Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:

,

где — основание натурального логарифма,

— мнимая единица.

Записать формулу извлечения корня из комплексного числа

Если n – целое положительное число, то извлечение корня n-й степени из комплексного числа z=r(cos+isin ) осуществляется по формулам:

Привести схему разложения многочлена на множители

• Вынесение общего множителя за скобки.Этопреобразование является непосредственным следствием распределительного закона ac + bc = c(a + b)
• Пример. Разложить многочлен на множители 12 y ³ – 20 y ². Решение. Имеем: 12 y ³ – 20 y ² = 4 y ² · 3 y – 4 y ² · 5 = 4 y ² (3 y – 5). Ответ. 4 y ²(3 y – 5).

• Использование формул сокращенного умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.
• Пример. Разложить на множители многочлен x ⁴ – 1. Решение. Имеем: x ⁴ – 1 = ( x ² ) ² – 1 ² = ( x ² – 1)( x ² + 1) = ( x ²– 1 ² )( x ² + 1) = ( x + 1)( x – 1)( x ² + 1). Ответ. ( x + 1)( x – 1)( x ² + 1).

• Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.
• Пример. Разложить на множители многочлен x ³ – 3 x ² y – 4 xy + 12 y ². Решение. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
  x ³ – 3 x ² y – 4 xy + 12 y ² = ( x ³ – 3 x ² y ) – (4 xy – 12 y ² ). В первой группе вынесем за скобку общий множитель x ², а во второй − 4 y . Получаем:
  ( x ³ – 3 x ² y ) – (4 xy – 12 y ² ) = x ² ( x – 3 y ) – 4 y ( x – 3 y ). Теперь общий множитель ( x – 3 y ) также можно вынести за скобки:
  x ² ( x – 3 y ) – 4 y ( x – 3 y ) = ( x – 3 y )( x ² – 4 y ). Ответ. ( x – 3 y )( x ² – 4 y ).

• Способ выделения полного квадрата.Метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов.
• Пример. Разложить на множители многочлен x ⁴ + 4 x ² – 1. Решение. Имеем x4+4x2−1=x4+2 2x2+4−4−1=(x2+2)2−5=(x2+2− 5)(x2+2− 5)