Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов называется число, получаемое следующим образом: векторное произведение умножается скалярно на вектор Смешанное произведение векторов обозначается Таким образом, Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то

Объем параллелепипеда V, построенного на векторах можно вычислить по формуле Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы

Прямая на плоскости.

В декартовой прямоугольной системе координат Оxy прямая на плоскости может быть задана уравнениями:

– общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0; (4.3)

– уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀)перпендикулярно нормальному вектору :

A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0;

– уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀)параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой):

– параметрические уравнения прямой

;

– уравнение прямой в отрезках

Здесь a и b – величины отрезков, отсекаемых на осях координат Ox и Oy (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками);

– уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂):

– уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M₀(x₀, y₀):

y – y₀ = k(x – x₀).

Расстояние от точки M₀(x₀, y₀) до прямой l, заданной уравнением (4.3), определяется по формуле

. (4.4)

Две прямые, заданные уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0и

A₂x + B₂y + C₂ = 0, параллельны, если , и перпендикулярны, если A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Плоскость.

Плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнениями:

Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости. (4.5)

Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член D, то плоскость проходит через начало координат; если в уравнении (4.5) отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение;

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0 –

уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно нормальному вектору ; – уравнение плоскости в отрезках,

где а, b, c – величина отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях;

– уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃):

(4.6)

Величина угла φмежду двумя плоскостями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z +D₂ = 0 вычисляется по формуле

Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде

или

Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид

Расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до плоскости , заданной уравнением (4.5), вычисляется по формуле

Линии второго порядка

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты x, y которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. (4.7)

Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка (А, В, С не равны нулю одновременно).

При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

(4.8)

(4.9)

, (4.10)

где a, b, p – положительные числа. Уравнение (4.7) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точ-ку, прямую, пару прямых). При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.

Эллипс с каноническим уравнением , имеет форму, изображенную на рис. 4.4.

Рис. 4.4

Точки F₂(–с, 0) и F₁(с, 0), где называются фокусами эллипса.

Числа а и b называются полуосями эллипса.

Гипербола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.5.

Рис. 4.5

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках А₁(а,0), А₂(–а, 0), называемых вершинами гиперболы. Числа a и b – полуоси гиперболы: а – действительная полуось, b – мнимая. Точки F₂(–c, 0) и F₁(c, 0), где , называются фокусами гиперболы.

Парабола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.6.

Рис. 4.6

Число p называется параметром параболы, точка О – ее вершиной, а ось Оx – осью параболы, вектор – фокальный радиус-вектор точки М. Прямая называется директрисой параболы.