Свойства векторного произведения

Системы линейных уравнений. Матричный

Метод.Правило Крамера. Метод Гаусса

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными вида

 

(4.1)

 

или, в матричной форме

 

А Х = В,

где

 

Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

 

 

где – определитель, получаемый из определителя заменой его i-го столбца на столбец В свободных членов.

Матричный метод.

Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле .

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

С помощью элементарных преобразований над строками система m линейных уравнений с n неизвестными может быть приведена к виду

, (4.2)

 

где

Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (4.2), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же то система совместна и из уравнений (4.2) выражают последовательно неизвестны через .

Скалярное произведение векторов в R³

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое или и равное где – угол между и .

 

Свойства скалярного произведения:

1. 2.

3. 4.

Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов.

Если векторы и представлены своими координатами в ортонормированном базисе , то скалярное про-изведение равно Из этой формулы и определения скалярного произведения следует:

 

Учитывая, что где – проекция вектора на вектор , а скалярное произведение векторов можно записать в виде

 

Механический смысл скалярного произведения: работа А, про-изводимая силой точка приложения которой перемещается из точки в точку вычисляется по формуле

Векторное произведение векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1).

 

 

Рис. 4.1: а – тройка правая; б – тройка левая

 

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор удовлетворяющий условиям:

1) – угол между векторами и ;

2)

3) Упорядоченная тройка – правая.

Обозначение:

 

Свойства векторного произведения

 

1)

 

2)

3)

4) – условие коллинеарности векторов.

 

Если векторы заданы своими коорди-натами в ортонормированном базисе , то

 

Площадь параллелограмма, построенного на векторах мож-но определить по формуле

 

Механический смысл векторного произведения. Пусть точка А твердого тела закреплена, а в его точке В приложена сила . Тогда возникает вращательный момент (момент силы). По определению момент силы относительно точки А находится по формуле .