Классификация особых точек ФКП. Изолированные особые точки

Точка а С_z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|< }, а в самой точке а не определена.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|< } точки z= и функция

имеет в точке  =0 изолированную особую точку однозначного характера.

В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.

Изолированная особая точка а функции f (z) называется

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

б) полюсом, если

в) существенно особой точкой, если

не существует.

Вычеты, их вычисление в особых точках. Вычет в бесконечно удаленной точке.

Вычет относительно бесконечно удаленной точки

(f(z) - аналитическая в области обход контура - по часовой стрелке).

c_-1 - коэффициент при z^-1 в разложении f(z) в ряд Лорана в окрестности точки .

Вычисление вычета в бесконечно удаленной точке

1. - правильная точка:

- нуль:

В частности, если при то

2. - полюс порядка не выше m:

3. Если f(z) представима в виде где - аналитическая в точке то

Если f(z) имеет конечное число особых точек z_k, k = 1, 2, ..., n, в конечной части плоскости, то

Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов.

Если аналитична в некоторой замкнутой односвязной области , за вычетом конечного числа особых точек , из которых ни одна не принадлежит граничному контуру , то справедлива следующая формула:

, где — вычет в точке .

Из теоремы о В. вытекает теорема о полной сумме вычетов: если f(z) - однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функции f(z), включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю.

38. Вычисления определенных интегралов по отрезку [0,2п] от рациональной функции относительно sint и cost и несобственных интегралов с бесконечными пределами рациональных функций.

Рассмотрим интеграл вида

,

где R(x) – рациональная функция, , причем многочлен Q(x) не обращается в нуль на вещественной оси и его степень по крайней мере на две единицы больше степени числителя. В этом случае интеграл сходится и его значение определяется по формуле

,

Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций

Пусть функция — рациональная функция переменных и . Для вычисления интегралов вида удобно использовать формулы Эйлера. Положив, что , и произведя соответствующие преобразования, получим:

.