Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли

Линейное ДУ 1-го порядка: y^’+p(x)y=g(x)

общее решение

Ур. Бернулли

При n=0 –линейное, при n=1 – с разделяющимися переменными.

Уравнения в полных дифференциалах

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x;y), т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y). В этом случае ДУ можно записать в виде du(x;y)=0, а его общий интеграл будет u(x;y)=с. Для того чтобы выражение P(x;y)dx+Q(x;y)dy, где функции P(x;y) и Q(x;y) и их частные производные и непрерывны в некоторой области D, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия: = .

Интегрирующий множитель

Функция μ(x;y) называется интегрирующим множителем для уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0, если уравнение μ(x;y)P(x;y)dx+μ(x;y)Q(x;y)dy=0 есть уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению

Если (не зависит от y), то . Если (не зависит от x), то .

ДУ высших порядков, задача Коши. Общее, частное решение. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши

ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка: F(x;y;y^’;y^’’)=0 или y^’’= F(x;y;y^’). Общее решение ДУ – функция y= , где произвольные постоянные. Решение y= , получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянной называется частным решением. Задача нахождения решения ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Если в уравнении y^’’= F(x;y;y^’) функция F(x;y;y^’) и ее частные производные непрерывны в некоторой области D то для всякой точки (x₀;y₀;y₀^’) принадлежащей D существует единственное решение y= , удовлетворяющее начальным условиям.

Уравнения допускающие понижение порядка

Один из методов интегрирования ДУ высших порядков – метод понижения порядка. Суть метода в том, что с помощью замены переменных данное ДУ сводится к ДУ порядок которого ниже. 3 типа уравнения допускающих понижение порядка: y^’’=f(x) y^’’=f(x, y^’) y^’’=f(y, y^’)

Линейные ДУ высших порядков. Т. о существовании и единственности решения задачи Коши. Т. о св-ве решений ЛОДУ

Ур-е + …+ наз-ся ЛНДУ n-го порядка.

Если f(x)=0, то ур-е наз-ся ЛОДУ n-го порядка. З.Коши для ЛДУ определяется начальными условиями:

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если все коэф-ты и f(x) непр-ы на [a,b], то на всем этом отрезке сущ-т единственное реш--е з.Коши.

Теорема о свойстве решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

1) Если явл-ся реш-ми ЛОДУ, то ф-я также яв-ся реш-м ЛОДУ при

2) Если комплекснозначная ф-я яв-ся реш-м ЛОДУ, то ф-и в отдельности также явл-ся реш-и ЛОДУ.