П.2. Каноническое уравнение гиперболы

Теорема. В канонической для гиперболы системе координат уравнение гиперболы имеет вид:

. (4)

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы

докажем, что координаты любой точки, лежащей на гиперболеудовлетворяют

уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любое решениеуравнения

(4) дает координаты точки, лежащей на гиперболе. Отсюда будет

следовать, что уравнению (4) удовлетворяют координаты тех и только тех

точек координатной плоскости, которые лежат на гиперболе. Отсюда и из

определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4)

является уравнением гиперболы.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой гиперболы, т.е. модуль разности ее фокальных радиусов равен 2а:

или

Воспользуемся

формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и

найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

, , откуда получаем:

.

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:

.

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

.

Возводим в квадрат

.

Раскрываем скобки и сокращаем на :

,

откуда получаем:

.

Используя равенство (2), получаем:

.

Разделив последнее равенство на , получаем равенство (4), ч.т.д.

2)

Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х,

у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

Тогда из (4) следует:

.

Подставляем это равенство в выражение для фокального радиуса точки М:

.

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

Таким образом,

.

Аналогично,

.

Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

или . Умножим неравенство

на :

,

.

Получаем:

или .

Отсюда следует, что числа х, и имеют одинаковые знаки, т.е. при и ,

а при и , а значит

и .

, т.е. , что означает принадлежность точки М(х, у) гиперболе, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Определение. Канонические для гиперболы оси координат называются главными осями гиперболы.

Определение. Начало канонической для гиперболы системы координатназывается центром гиперболы.

Формула Муавра.

Теорема. (Формула Муавра, 1707 г.)

Для любого целого числа n и любого действительного числа имеет место следующее равенство:

. (1)

Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.

1) Пусть – натуральное число. Так как комплексное число имеет модуль , то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

2) Пусть теперь . Тогда

, ч.т.д.

3) Пусть , где – натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и в полекомплексных чисел, имеем:

.

Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).

Теорема доказана.

Следствие. (О целых степенях комплексного числа.)

Пусть . Тогда

.

Доказательство предоставляется читателю.