П.3. Свойства эллипса

Основные определения.

Определение. Эллипсом называется ГМТ плоскости сумма расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

рис.1.

Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокусаэллипса называется фокальным радиусом точки М.

Обозначения: – фокусы эллипса, – фокальные радиусы точки М.

По определению эллипса, точка М является точкой эллипса тогда и только тогда, когда – постоянная величина. Эту постоянную принято обозначать 2а:

. (1)

Заметим, что .

По определению эллипса, его фокусы есть фиксированные точки, поэтому расстояние между ними есть также величина постоянная для данного эллипса.

Определение. Расстояние между фокусами эллипса называется фокусным расстоянием.

Обозначение: .

Из треугольника следует, что , т.е.

.

Обозначим через b число равное , т.е.

. (2)

Определение. Отношение

(3)

называется эксцентриситетом эллипса.

Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для эллипса.

Определение. Ось, на которой лежат фокусы эллипса, называется фокальной осью.

Построим каноническую для эллипса ПДСК, см. рис.2.

В качестве оси абсцисс выбираем фокальную ось, а ось ординат проводим через середину отрезка перпендикулярно фокальной оси.

рис.2.

Тогда фокусы имеют координаты , .

п.3. Свойства эллипса.

Теорема. (Свойства эллипса.)

1. В канонической для эллипса системе координат, все

точки эллипса находятся в прямоугольнике

, .

2. Точки лежат на

эллипсе.

3. Эллипс является кривой, симметричной относительно

своих главных осей.

4. Центр эллипса является его центром симметрии.

Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения эллипса.

3, 4) Пусть М(х, у) – произвольная точка эллипса. Тогда ее координатыудовлетворяют уравнению (4). Но тогда координаты точек также удовлетворяют уравнению (4), и, следовательно, являются точками эллипса, откуда и следуют утверждения теоремы.

Теорема доказана.

рис.3.

Определение. Величина 2а называется большой осью эллипса, величина а называется большой полуосью эллипса.

Определение. Величина 2b называется малой осью эллипса, величина b называется малой полуосью эллипса.

Определение. Точки пересечения эллипса с его главными осями называются вершинами эллипса.

Замечание. Эллипс можно построить следующим образом. На плоскостив фокусы "забиваем по гвоздю" и закрепляем на них нить длиной . Затем берем карандаш и с его помощью натягиваем нить. Затем передвигаем карандашный грифель по плоскости, следя за тем, чтобы нить была в натянутом состоянии.

Из определения эксцентриситета следует, что

Зафиксируем число а и устремим число с к нулю. Тогда при , и . В пределе мы получаем

или – уравнение окружности.

Таким образом, мы можем считать, что окружность есть эллипс с нулевым эксцентриситетом.

Устремим теперь . Тогда , и мы видим, что в пределеэллипс вырождается в отрезок прямой в обозначениях рисунка 3.