Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

Из этого уравнения определим переменную функцию С₁(х):

Интегрируя, получаем:

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

.

Таким образом, мы получили результат,

33.Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Для этого разделим исходное уравнение на yⁿ. Применим подстановку, учтя, что . Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z. Решение этого уравнения будем искать в виде:

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Определение. ДУ порядка n называется уравнение вида: В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y⁽ⁿ⁾: Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. Определение. Решение удовлетворяет начальным условиям , если Определение. Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши. Теорема Коши. Если функция (n-1) –й переменных вида в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по , то какова бы не была точка ( ) в этой области, существует единственное решение уравнения , определенного в некотором интервале, содержащем точку х₀, удовлетворяющее начальным условиям .

ДУ высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

Уравнения вида y⁽ⁿ⁾ = f(x). Если f(x) – ф-я непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то реш может быть найдено последовательным интегрированием

………………………………

34Уравнения, не содержащие явно искомой функциии ее производных до порядка k – 1 включительно. Это уравнения вида: В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда получаем: Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением: Делая обратную подстановку, имеем: Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ: