Однородные уравненияУравнения, приводящиеся к однородным

Определение. ДУ первого порядканазывается соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида: Определение. ДУ называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде . Такое У-е можно представить в виде:

Перейдем к новым обознач Получаем: После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение ду с разделяющимися переменными. Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение. Определение. ДУ вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная ф-я нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения. Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с раздел перем. Рассмотрим однородное уравнение Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать: Т.к. параметр t произвольный, то . Получаем: Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е. Исходное ду можно записать в виде: Далее заменяем y = ux, . таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u. Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

С разд перем. Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным. Это уравнения вида . Если определитель то переменные могут быть разделены подстановкой где a и b - решения системы уравнений

30. Уравнения в полных дифференциалах

Опр ДУ первого порядка вида: называется уравнением в полных дифф, если левая часть этого уравнения представляет собой полный диф некоторой ф-ии Интегр такого у-я сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: То, для решения надо определить: 1) в каком случае левая часть Ур-я представляет собой полный дифф функции u; 2) как найти эту функцию. Если дифф форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать: Т. . Найдем смешанные производные второго порядка, продиф первое Ур-е по у, а второе – по х: Приравнивая левые части Ур-й, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть ду является полным дифф. Это условие – условие тотальности. найдем функцию u Проинтегрируем равенство : Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром. Определим функцию С(у). Продифференцируем полученное равенство по у. Откуда получаем: Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

определяем функцию С(у): Подставляя этот результат в выр-е для функции u, получаем: Тогда общий интеграл исходного ду будет иметь вид: