Выбор шага интегрирования

Точность методов Эйлера и Рунге-Кутта существенно зависит от величины шага интегрирования h. Можно доказать [2], [3], что погрешность метода Эйлера имеет порядок h, а метода Рунге-Кутта – порядок . Т. е. для достижения одной и той же точности в методе Эйлера нужно выбрать гораздо меньший шаг интегрирования, чем в методе Рунге-Кутта.

Рассмотрим подробнее процедуру выбора и уточнения шага интегрирования на примере метода Рунге-Кутта. Пусть – заданная точность решения задачи Коши. Поскольку (где c=const), то начальное значение можно выбрать из неравенства

(4.8)

При этом, чтобы попасть после n шагов интегрирования из точки a в точку b, необходимо одновременное выполнение условия:

(целое число). (4.9)

Кроме того, для подсчета погрешности метода Рунге-Кутта по формуле (4.7), нужно будет сделать просчет по формулам (4.5), (4.6) с шагом 2h. Поэтому необходимо также, чтобы отношение было четным.

После выбора начального значения шага проводится его уточнение. Для этого из точки просчет по формулам (4.5), (4.6) выполняется дважды сначала с шагом h, а затем из той же точки с шагом 2h. При этом получаются два значения решения задачи ( и ) в одной и той же точке . Если , то можно выбрать в качестве шага интегрирования, иначе необходимо уменьшить h в два раза и повторить процедуру проверки.

Задание на лабораторную работу

1. Из табл. 4.1 выбрать свой вариант задания ( ).

Таблица 4.1

Варианты заданий

№		a	b		№		a	b
			3,4					2,8
			3,8					4,4
			1,6					3,8
			3,2					2,6
			1,8					5,4
			5,4					3,6
			5,2					3,4
			1,8					3,8
			1,6					5,2
			6,4	0.5				4,6
			1,6					2,8
			4,6					4,8
			1,8					2,6
			5,6					2,8
			4,6				0,6	2,2

2. Выбрав в качестве начального шага интегрирования и , решить задачу Коши на отрезке методом Эйлера и определить по формуле (4.4) относительную погрешность найденного решения.

3. Выбрав в качестве начального шага интегрирования , решить задачу Коши на отрезке методом Рунге-Кутта.

4. Построить на миллиметровой бумаге графики решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта.

5. Продолжить работу в компьютерном классе.

6. Выписать значения «точного решения», полученного на компьютере с помощью стандартной функции odesolve системы Mathcad, в промежуточных точках для . Построить график решения по этим точкам.

7. Используя найденные в п.6 значения, составить таблицу локальных абсолютных погрешностей решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта на МК.

8. Выписать автоматически полученные на компьютере в разделе «Метод Рунге-Кутта» значения решения задачи Коши на отрезке методом Рунге-Кутта с начальным шагом интегрирования и, используя формулу (4.7), определить относительную погрешность данного решения.

9. Оформить отчет по работе, в который входят: титульный лист; таблица с решением задачи Коши методом Эйлера с шагом и ; относительная погрешность найденного решения методом Эйлера; таблица с решением задачи Коши методом Рунге-Кутта с шагом ; полученное на компьютере точное решение задачи Коши; таблица абсолютных погрешностей решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта; абсолютные погрешности этих решений; таблица с компьютерным решением задачи Коши методом Рунге-Кутта с шагом ; относительная погрешность найденного решения методом Рунге-Кутта.