Пример выполнения работы. Найти наименьший положительный корень уравнения

 

Найти наименьший положительный корень уравнения

.

1. Область определения функции ее производные

2. Строим графики функций: находим точки пересечения графиков. Из рис. 2.6 видно, что наименьший положительный корень данного уравнения лежит внутри отрезка . Проверим аналитически, что корень отделен на этом отрезке. Вычисляем: Поскольку и функция непрерывна, то в силу теоремы 1 внутри отрезка имеются корни. Поскольку и для всех , следовательно для всех , т. е. функция возрастающая на . Поэтому на основании теоремы 2 внутри этого отрезка имеется один корень уравнения и он может быть взят в качестве начального.

Рис. 2.6. Графики функций и

 

3. С помощью микрокалькулятора делаем 3 шага методом половинного деления; результаты заносим в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Уточнение начального отрезка методом половинного деления

N
	0,5	1,0	1,5	1,0	– 0,974	– 0,386	1,766
	1,0	1,25	1,5	0,5	– 0,386	0,449	1,766
	1,0	1,125	1,25	0,25	– 0,386	– 0,023	0,449
	1,125	1,1875	1,25	0,125

 

В результате получаем: уточненный отрезок [1,125; 1,250]; приближенное значение корня ; погрешность корня равной . При этом были введены следующие дополнительные обозначения: .

Дальнейшее уточнение корня проводим комбинированным методом. Так как , то левый конец отрезка [1,125; 1,250] уточняем методом хорд, а правый – методом Ньютона. Поэтому используем формулы (2.13). Результаты вычислений заносим в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Уточнение корня комбинированным методом

N
	1,125	1,250	0,125	– 0,023092	0,444045	4,243056
	1,131114	1,144170	0,013056	– 0,002622	0,041961	3,460994
	1,131882	1,132046	0,000164

 

Так как , вычисления прекращаем на втором шаге. Находим корень уравнения

4. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab2.mcd. Вводим функцию

Строим график функции на найденном начальном интервале [0,5;1,5] (рис. 2.7)

 

Рис. 2.7. График функции f(x)

 

Характеристики графика свидетельствуют, что функция непрерывна, и существуют и знакопостоянны на этом отрезке (т. е. функция монотонна и не меняет направление выпуклости) и что корень уравнения лежит в интервале [0,5;1,5], причем единственный. Таким образом, можем применить все вышеперечисленные методы. После этого находим корень с точностью до с помощью встроенной функции системы Mathcad

5. Выписываем точное решение и сравниваем полученные результаты ручного и машинного счета. Определяем погрешность:

6. Определяем с помощью компьютера значение корня методом половинного деления с точностью . По формуле, чтобы удовлетворить погрешности , для начального отрезка единичной длины необходимо провести шагов.

Выписываем автоматически вычисленное по этой формуле в соответствующем разделе количество шагов и таблицу 2.4, содержащую первые и последние три шага получившейся матрицы приближений корня методом половинного деления.

Таблица 2.4

Отыскание корня методом половинного деления

N					…
	0,5	1,0	1,0	1,125	…	1,131836	1,131866	1,131882
	1,5	1,5	1,25	1,25	…	1,131897	1,131897	1,131897

Получим корень , абсолютная погрешность которого .

7. Получим на компьютере значение корня методом Ньютона с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и с помощью запрограммированной формулы (2.7) определяем погрешность . Следовательно, увеличивая N на единицу, вводим в программу и получаем . То есть требуемая точность достигнута (если это не так продолжаем увеличивать N на единицу).

. Выписываем получившуюся таблицу 2.5 для .

Таблица 2.5

Отыскание корня методом Ньютона

N
	1,5	1,221958726	1,139300286	1,131948438	1,131892063

 

Получим приближенный корень , абсолютная погрешность которого .

8. Вычисляем на компьютере значение корня методом хорд с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и с помощью запрограммированной формулы (2.10) получим и оценим погрешность . Следовательно, увеличиваем N на единицу, вводим , для которого . Увеличиваем N еще на единицу, вводим , для которого . Т. е. требуемая точность достигнута (если это не так, продолжаем увеличивать N на единицу).

Выписываем первые и последние два шага из получившейся таблицы для .

 

Таблица 2.6

Отыскание корня методом хорд

N				…
	0,5	0,855440054	1,035664929	…	1,131891898	1,131892012

Получим корень , абсолютная погрешность которого .

9. Вычисляем на компьютере значение корня комбинированным методом с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и получаем по формуле (2.13) погрешность . Следовательно, увеличиваем N на единицу и вводим , для которого . То есть требуемая точность достигнута (если это не так, продолжаем увеличивать N на единицу).

Выписываем получившуюся таблицу 2.7 для .

 

Таблица 2.7

Отыскание корня комбинированным методом

N
	0,5	0,8554400542	1,1020813008	1,1316586589	1,1318920464
	1,5	1,2219587264	1,1393002857	1,1319483820	1,1318920634

 

Получим корень , абсолютная погрешность которого .

10. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.

Вопросы для самоконтроля

 

1. Уравнение какого типа решается в данной работе?

2. Что называется корнем уравнения ?

3. Как графически решить уравнения ?

4. Перечислите достоинства и недостатки графического метода.

5. В чем состоит этап отделения корней уравнения ?

6. Сколько корней должна иметь функция на начальном отрезке ?

7. Как определить аналитически: возрастает или убывает функция на промежутке?

8. Как определить аналитически: выпукла или вогнута функция на промежутке?

9. Какие условия, наложенные на , гарантируют наличие хотя бы одного корня уравнения на начальном отрезке ?

10. Какие условия, наложенные на , гарантируют наличие не более одного корня уравнения на начальном отрезке ?

11. Привести алгоритм решения уравнения методом половинного деления. Какие условия при этом должны быть наложены на функцию ?

12. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить методом Ньютона?

13. Как выбирается начальная точка в методе Ньютона?

14. Вывести формулу для вычисления последовательных приближений методом Ньютона, записать формулу оценки погрешности.

15. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить методом хорд?

16. Как выбирается начальная точка в методе хорд?

17. Вывести формулу для вычисления n последовательных приближений методом хорд, записать формулу оценки погрешности.

18. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить комбинированным методом?

19. Выписать формулы, по которым уточняются концы начального отрезка комбинированным методом. В зависимости от каких условий осуществляется выбор формул?

20. Указать условие, по которому процесс уточнения отрезка комбинированным методом должен быть прерван? Как затем найти корень?