Основные правила дифференциального исчисления. Производные основных функций

Пусть функции и дифференцируемы (т.е. имеют конечные производные), с– постоянная величина, тогда имеют место следующие формулы:

1. . Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных.

2. . Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3. . Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй, плюс произведение производной второго сомножителя на первый.

4. , . Если числитель и знаменатель дроби — дифференцируемые функции и знаменатель не обращается в нуль, то производная дроби равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и все это деленное на квадрат знаменателя.

Производные основных функций

;

;

Примеры: Вычислить производные следующих функций

1. f(x)= ,

.

2. ,

3. , .

Эластичность.

Понятие эластичности было введено Альфредом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. Впоследствии это понятие было распространено и на другие функции.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции у=f(x) к относительному приращению переменной x если приращение

аргумента стремится к нулю . Эластичность функции обозначается:

т.е.

Вывод: эластичность — это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Если, например, х увеличится на один процент, то у увеличится (приближенно) на процентов.

Эластичность спроса относительно цены.Пусть спрос q зависит от цены p по закону . Функция показывает, как изменится спрос на данный товар, если цена изменится на 1%. Так как обычно , т.е. с увеличением цены спрос уменьшается, то берут со знаком «-», т.е.

.

Если , то говорят, что спрос эластичен, а если , то неэластичен, если же , то спрос нейтрален.

Эластичность предложения относительно цены.Пусть количество товара s, предлагаемого на продажу в единицу времени, зависит от цены p по закону . Функция показывает, как изменится предложение, если цена на товар изменится на 1%.

Пример. Правильное применение знаний об эластичности спроса на товары помогает правительству в оценке последствий введения новых налогов или акцизов. Пусть х — акцизы на водку, у — спрос на этот товар. Предположим, что государство предполагает повысить акцизы на водку на 10%. Если известно, что эластичность спроса составляет =—0,2, то следует ожидать, что это вызовет снижение спроса на данный товар на 0,2•10=2 (%) и доходы государства по продаже водки повысятся на 8%.

Пример. Найти эластичность спроса q относительно цены p, если , при p=1, p=32.

Решение.Эластичность спроса относительно цены найдём по формуле . Найдём производную

.

При p=1 , т.е. спрос неэластичен.

При p=32 , т.е. спрос эластичен.