Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной

Раздел III. Основы математического анализа в социально–экономической сфере.

Лекция 2Основы дифференциального исчисления

План:

1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной.

2. Экономический смысл производной.

3. Основные правила дифференциального исчисления. Производные основных функций.

4. Эластичность.

5. Примеры использования производной в социологии и психологии.

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной.

Одним из основных понятий дифференциального исчисления является производная, которая используется при исследовании процессов, в том числе социологических и экономических, описываемых функциями.

Рассматривая различные по характеру задачи, мы приходим к пределу одного вида, который очень часто используется в различных областях науки. Поэтому ему дали отдельное название — производная. Дадим общее определение производной.

Пусть функция определена на промежутке X . Выберем некоторую точку и найдём значение функции в этой точке: . Дадим приращение аргумента , такое, чтобы , и вычислим приращение функции , которое зависит от приращения аргумента . Найдём предел отношения при , то есть . Если этот предел отношения приращения функции к приращению аргумента при существует и конечен, то он называется производной функции в точке . Производная имеет несколько обозначений: , , . Следовательно . Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого множества X, называется дифференцируемой на этом множестве.