Свойства степенных рядов

Теорема (Абеля)

1) Если степенной ряд сходится при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении , для которого справедливо .

2) Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком : .

 

Заметим, что теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если точка х0 – точка сходимости, то интервал заполнен точками абсолютной сходимости. Если – точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки – состоит из точек расходимости. Из этого можно заключить, что существует число R>0, что при мы имеем точки абсолютной сходимости, а при – точки расходимости.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора.

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a. В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена

Свойства

• Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
• Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например:

 

Ряды Маклорена некоторых функций

Экспонента:

Натуральный логарифм для всех

Биномиальное разложение:

для всех и всех комплексных где

В частности:

• Kвадратный корень:

для всех

для всех | x | < 1

• Конечный геометрический ряд:

для всех

Тригонометрические функции:

для всех

для всех

для всех

для всех

 

43.Разложение функций в ряд по степеням x.

формуларяда Маклорена (1)

1. . Имеем

;

.

Тогда по формуле (1) .

Областью сходимости данного ряда является вся числовая прямая, т.е. .

2. . Имеем

,

откуда и т.д.

Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка , где .Поэтому по формуле (1) имеем

.

Область сходимости ряда .

3. . Рассматривая аналогично предыдущему, получим .

Область сходимости ряда .

4. , где – любое действительное число.

Имеем

При получим

Тогда по формуле (1) имеем

.

Интервал сходимости ряда (на концах интервала сходимость зависит от конкретных значений ).

5. для всех

6. для всех