Задачи максимизации полезности

Задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум

(22)

при условии

Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа.

Выписываем функцию Лагранжа

, (23)

где l - неопределенный множитель Лагранжа.

Экономический смысл этого множителя: если цены p_i и доход J меняются в одно и то же число раз l, то функция полезности, а значит, и решение задачи потребительского выбора не изменится.

Далее находим ее первые частные производные по переменным x₁, x₂ и l, приравниваем эти частные производные к нулю:

Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными неизвестную l (разделив поэлементно первое уравнение на второе), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x₁ и x₂:

Решение этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставим решение в левую часть равенства

.

Получим, что в точке локального рыночного равновесия индивидуума отношение предельных полезностей и продуктов равно отношению рыночных цен p₁ и p₂ на эти продукты:

. (24)

В связи с тем, что отношение равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия , из (24) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен на продукты. Приведенный результат играет важную роль в экономической теории.

А именно,

; , (25)

то есть отношение (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений к объемов продуктов в локальном рыночном равновесии приближенно равно отношению рыночных цен p₁ и p₂ на продукты.

Равенство (25) позволяет давать приближенные оценки отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретенного потребителем, то есть набора, который естественно следует толковать в качестве оптимального для потребителя.

Пример 9. Найти аналитическое решение задачи максимизации индивидуальной функции полезности при наличии бюджетного ограничения , если и J=5.

Решение.

Известны:

Требуется найти значения .

I способ. Приведение функции к одной переменной

1. Из выразим x₂: .

2. Подставим найденное значение x₂ в целевую функцию . Получим функцию одного аргумента x₁:

.

3. Исследуем на экстремум:

;

если ; ; .

4. .

Ответ: , .

II способ. Использование функции Лагранжа

1. Составим функцию Лагранжа:

.

2. Найдем первые частные производные функции по переменным , приравняв их к нулю:

3. Разделим поэлементно первое уравнение на второе. Получим:

, откуда следует или .

4. Используя третье равенство в последней системе уравнений, получим

; ; .

5. .

Ответ: , .