Производные сложной и обратной функции

В этом параграфе будет рассмотрен вопрос о дифференцируемости сложной функции

, (4.1)

где

, . (4.2)

Будет доказано, что при определенных условиях сложная функция

(4.3)

по переменным дифференцируема и ее частные производные выражаются через частные производные функции (4.1) и частные производные функций (4.2) по следующим формулам:

, . (4.4)

Теорема 4.1. Если функция (4.2) дифференцируема в точке , а функция (4.1) дифференцируема в точке , то сложная функция (4.3) дифференцируема в точке , причем ее частные производные в этой точке определяются формулой (4.4), где все частные производные , вычисляются в точке , а все частные производные - в точке .

Доказательство. В силу дифференцируемости функции (4.1) в точке ее полное приращение в этой точке представимо в виде

, (4.5)

где

, . (4.6)

Из дифференцируемости функции (4.2) в точке вытекает их непрерывность в этой точке, а по свойству непрерывности

, . (4.7)

Из (4.6) и (4.7) по свойству предела сложной функции следует

, . (4.8)

В силу дифференцируемости функции (4.2) в точке их полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (4.9)

где - бесконечно малые при , …, . После подстановки выражений (4.9) в правые части (4.5) получим

или

, (4.10)

где в силу (4.8) - бесконечно малые при , …, . По свойствам бесконечно малых сумма

есть бесконечно малая при , …, . Отсюда, согласно (4.10),

сложная функция (4.3) дифференцируема в точке , причем ее частные производные в этой точке определяются формулами (4.4).

В частности, если аргументы функции (4.1) являются функциями одного переменного t: , , то производная сложной функции одного переменного t определяется формулой

. (4.11)

В случае сложной функции , где , формула (4.11) принимает вид

. (4.12)

Займемся теперь вопросом о производной обратной функции одной переменной.

Определение 4.1. Функция называется возрастающей (убывающей) на числовом промежутке Х, если для любых , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство

, .

Возрастающая или убывающая функция называется монотонной. Пусть функция задана на числовом промежутке Х и пусть множеством значений этой функции является числовой промежуток Y. Пусть далее каждому соответствует только одно значение , для которого . Тогда на числовом промежутке Y определяется функция , сопоставляющая каждому то значение , для которого . Функция называется обратной для функции . Отметим, что если - обратная функция для , то функция является обратной для . Поэтому функции и называются также взаимно обратными.

Теорема 4.2. Если функция непрерывна и монотонна в некоторой окрестности точки х, то эта функция в соответствующей окрестности точки имеет непрерывную и монотонную обратную функцию .

Доказательство этой теоремы приводится в [1].

Теорема 4.3. Пусть функция монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки х и имеет в этой точке производную , отличную от нуля. Тогда обратная функция в точке имеет производную , определяемую формулой

. (4.13)

Доказательство. Согласно теореме 4.2 при условиях теоремы 4.3 функция в окрестности точки имеет монотонную и непрерывную обратную функцию . Придадим значению y произвольное, отличное от нуля приращение . Этому приращению соответствует приращение обратной функции, причем в силу монотонности функции приращение (иначе разным значениям аргумента функции будут соответствовать одинаковые значения функции, что противоречит условию монотонности обратной функции). Поэтому мы вправе записать следующее тождество

. (4.14)

Пусть теперь в равенстве (4.14) . Тогда в силу непрерывности обратной функции в точке y будет . Но при дробь в силу существования ненулевой производной функции имеет предельное значение . Следовательно, правая часть (4.14) имеет при предельное значение, равное . Но тогда и левая часть (4.14) при имеет предельное значение, равное . Отсюда вытекает формула (4.13) или, короче,

. (4.15)

Доказательство теоремы имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим в окрестности точки х график функции (или все равно что график обратной функции ). Производная равна тангенсу угла наклона касательной в точке к оси ОХ. Производная равна тангенсу угла наклона касательной в этой же точке М к оси OY. Поскольку , то условие (4.15) будет иметь вид (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1