Дифференцируемость функции

Определение 3.1.Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

, (3.1)

где , …, - некоторые числа, а , …, бесконечно малые функции при , …, .

Теорема 3.1. (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке она имеет частные производные по всем аргументам, причем ( ), где определяются из условия (3.1).

Доказательство. В силу (2.1) и (2.2) частное приращение функции в точке может быть получено из полного приращения при , , , …, . Отсюда, согласно условию (3.1) дифференцируемости функции в точке , ее частное приращение в этой точке можно представить в виде . В предположении последнее равенство может быть переписано в виде , что по свойству предела эквивалентно равенству .

В силу теоремы 3.1 условие (3.1) дифференцируемости функции в точке можно представить в следующей форме:

.

Теорема 3.2. (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки , причем все эти частные производные непрерывны в самой точке , то указанная функция дифференцируема в точке .

Доказательство теоремы 3.2 можно найти в [1] и [2].

Как частный случай определения 3.1 получаем

Определение 3.2. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

, (3.2)

где А – некоторое число, а - бесконечно малая величина при .

Теорема 3.3. (необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции одной переменной). Функция дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда в этой точке существует производная , причем .

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке х, т.е. или при условии , или по свойству предела .

Таким образом, дифференцируемость функции одной переменной равносильна существованию производной этой функции. Функция при указанным свойством не обладает.

Теорема 3.4. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если функция дифференцируема в точке , то ее полное приращение в этой точке представимо в виде

,

где , …, - некоторые числа, а , …, бесконечно малые функции при , …, .

Переходя в последнем равенстве к пределу при , …, , получим , что равносильно непрерывности функции в точке .

Обратное утверждение о том, что из непрерывности следует дифференцируемость, вообще говоря, неверно. Например, функция

непрерывна в точке , так как в этой точке существуют правое и левое предельные значения функции, оба равные значению функции в точке . Данная функция в точке имеет правую производную

и левую производную

.

Но поскольку указанные производные не совпадают, функция не имеет производной в точке , и следовательно, по теореме 3.3 не дифференцируема (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1