Тест№2. Классическая система массового обслуживания с очередями

При определенных условиях, накладываемых на систему массового обслуживания с очередями (стационарность, ординарность и отсутствие последействия для потока заявок и для времени выполнения заявок и т. д.) для характеристик системы могут быть получены аналитические выражения. Будем называть такие системы классическими.

Вероятности состояний p_k вычисляются по формулам (при условии стационарности, т.е., когда ):

p_k = , (1)

где p₀ = 1/ . (2)

Вероятность отсутствия очереди p_oo вычисляется по формуле

p_oo = p₀ . (3)

Вероятность занятости всех линий обслуживания p_зан вычисляется по формуле

p_зан = . (4)

Средняя длина очереди m вычисляется по формуле

m = p_n . (5)

Задание:зная параметры СМО с очередью: , , n, найти характеристики системы массового обслуживания: вероятность отсутствия очереди; среднюю длину очереди (в стационарном режиме). Значения параметров системы для различных вариантов задания приведены в таблице:

Номер варианта n

Тест № 3 – Классическая система массового обслуживания отказами.

Справочный материал.

Вероятность k – того состояния системы p_k вычисляется по формуле

p_k = ^k / k! (1)

где , = ^-1 , k = 0, 1, 2, …, n (2)

Вероятность отказа p_отк = p_n , то - есть она вычисляется по формуле (1) при k = n. Среднее число занятых устройств m вычисляется по формуле

m = (1 - p_n) (3)

Пример.В локомотивное депо с четырьмя линиями обслуживания (ремонта) поступает поток заявок (локомотивы для ремонта)– в среднем три локомотива в неделю. Среднее время ремонта – две недели. Найти вероятности состояний, вероятность отказа и среднее число занятых линий ремонта.

Решение.Если за единицу времени принять неделю, то из условий задачи мы имеем: = 3, = 1 / 2 , = 6 , n = 4. Поэтому из формул (1) и (2) получаем: = 1 / (1 + 6 / 1! + 6² / 2! + 6³ / 3! + 6⁴ / 4!) = 1 / 115 ,

p_o = 6⁰ / 115 = 1 /115 , p₁ = 6 / 115 , p₂ = 6² /115 / 2! =18 / 115 , p₃ = 6³ / 115 / 3! = 36 / 115 , p₄ = 6⁴ / 115 / 4! = 54 / 115 , p_отк = p₄ = 54 / 115 , среднее число занятых линий ремонта m = 6(1 – 54 / 115) = 366 / 115 3.18.

Задание:зная параметры системы массового обслуживания (СМО) с отказами: - интенсивность потока заявок, - интенсивность обслуживания, n – число каналов обслуживания, найти характеристики СМО: вероятности состояний p₀, p₁, p₂, … p_n; среднее число занятых устройств и вероятность отказа (в стационарном режиме). Значения параметров СМО для различных вариантов задания приведены в таблице:

Номер варианта			n
		0.5
		0.5
		0.5
		1.5
		1.9
		0.9
		1.5
		0.5
		0.5
		0.8
		0.8
		0.6
		1.2
		0.5
		0.3
		1.5
		1.8

Найти ответ на вопрос: сколько должно быть устройств обслуживания, чтобы вероятность отказа была не более 0,1?