Электроемкость уединенного проводника. Электроемкость конденсатора

Рассмотрим уединенный проводник, т.е. в окружающем его пространстве нет других тел - диэлектриков ( , вакуум) и проводников. Из формул электростатики (3.38)-(3.39) следует, что заряд проводника и его потенциал , который в условиях равновесия будет одинаковым внутри и на поверхности проводника, пропорциональны друг другу ( ). Поэтому коэффициент пропорциональности между ними

(3.43)

не будет зависеть ни от , ни от и называется электроемкостью проводника. Электроемкость проводника характеризует его способность накапливать заряды и зависит только от геометрических размеров проводника и диэлектрических свойств окружающей среды, т.е. от . Действительно, в случае металлической сферы с учетом формул (3.38) можно записать

(3.44)

Электроемкость уединенного проводника является достаточно малой величиной. Так, если рассматривать планету Земля как проводящий шар радиуса R=6400 км, то тогда ее электроемкость составит всего 711 мкФ.

Оказывается, что наличие вблизи уединенного проводника каких –либо тел (проводники или диэлектрики) увеличивают его электроемкость.

Действительно, если, например, к положительно заряженному проводнику (рис.3.18,а) поднести незаряженный металлический проводник, то за счет перераспределения заряда на проводниках (рис.3.18,б)

Рис.3.18

электрическое поле в пространстве ослабевает, т.е. на линии 1-2 модуль вектора будет уменьшаться, поэтому потенциал поверхности заряженного проводника

будет также уменьшаться, что при постоянном заряде проводника приводит к увеличению его электроемкости:

.

Покажем на конкретном примере заряженной проводящей сферы радиусом , как происходит ослабление электрического поля и потенциала сферы при наличии в окружающем ее пространстве каких-либо тел.

В отсутствие других тел зависимость модуля напряженности электрического поля сферы от расстояния r приведена на рис.3.19,а. Затем на рис.2.19 показано как последовательно ослабляется электрическое поле сферы для различных случаев размещения вокруг нее тел, а именно, сферу окружают:

1. шаровым слоем из диэлектрика ( , рис. 3.19,б);
2. заменяют шаровой слой из диэлектрика шаровым слоем из металла ( , рис.3.19,в);
3. металлической сферой радиуса , несущей заряд, равный по модулю заряду сферы радиуса r1, но противоположный ему по знаку (рис.3.19,г);
4. заполняют пространство между сферами диэлектриком (рис.3.19,д).

Случаи (г) и (д) соответствуют сферическому конденсатору. Как следует из рис.3.19, наибольший эффект увеличения электроемкости проводника достигается для конденсаторов, представляющих собой две металлические пластины, разделенные слоем диэлектрика. На пластины (обкладки) подают заряды, одинаковые по модулю и противоположные по знаку. Форма обкладок конденсатора обеспечивает существование

Рис.3.19

Рис.3.20

электрического поля только в пространстве между ними. Это позволяет устранить влияние на электроемкость конденсатора окружающих его тел. На рис.3.20 приведено схемное изображение плоского, сферического и цилиндрического конденсаторов.

Электроемкость конденсатора вводится согласно формуле

(3.45)

где - заряд положительно заряженной пластины конденсатора, - разность потенциалов между его обкладками.

Электроемкость конденсатора, как и электроемкость уединенного проводника, зависит только от его геометрических размеров и диэлектрических свойств среды ( ) между его пластинами.

Запишем формулы для электроемкости конденсаторов различного вида.

1. Плоский конденсатор. Используя полученную ранее для разности потенциалов формулу (3.34), получим

(3.46)

где S – площадь одной пластины конденсатора, d- расстояние между ними, - относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора.

2. Цилиндрический конденсатор. Радиусы обкладок конденсатора обозначим как и ( ), а длину пластин через H. Электрическое поле такого конденсатора обладает осевой симметрией и согласно теореме Гаусса определяется зарядом внутренней обкладки (цилиндра), напряженность этого поля рассчитывается по формуле (3.36). Используя выражение (3.37), для разности потенциалов , запишем

(3.47)

3. Сферический конденсатор. Радиусы обкладок обозначим как и ( ). Электрическое поле конденсатора обладает сферической симметрией и согласно теореме Гаусса определяется зарядом только внутренней сферы. Учитывая формулу (3.38 а) для потенциала поля сферы, можно рассчитать разность потенциалов между обкладками конденсатора и его электроемкость

(3.48)