Пример 5. Определение усилий в стержнях плоской фермы

Плоская ферма (рисунок 13) нагружена сосредоточенными силами P₁ = 58 кН; P₂ = 50 кН; P₃ = 85 кН. Определить усилия в стержнях методом вырезания узлов.

Рисунок 13 – Схема плоской фермы

Определение реакций опор. Рассмотрим систему сил, приложенных к ферме. Отбросим связи в опорах А и В; реакцию шарнирно-неподвижной опоры А разложим на составляющие X_A и Y_A, направленные вдоль осей координат (рисунок 14). Реакцию R_B шарнирно-подвижной опоры В направим по оси y.

Вычислим статическую определимость фермы по формуле:

 

где S – число стержней;

n – число узлов.

Получим:

21 = 12 · 2 – 3 = 21.

 

Ферма статически определима. Все модули фермы составлены из геометрически и конструктивно неизменяемых элементов –

Q

треугольников, следовательно, ферма геометрически неизменяема.

Рисунок 14 – Расчетная схема фермы

 

Вычислим углы, необходимые при расчетах (рисунок 15):

 

 

 

Рисунок 15 – Определение углов между стержнями фермы

 

Определим угол (рисунок 15, а):

 

 

Определим угол (рисунок 15, б):

 

 

Силу P₃ разложим на две составляющие и с модулями:

 

кН;

кН.

 

Реакции в опорах определим из уравнений равновесия:

 

(14)

(15)

(16)

 

Из уравнения (14)

 

кН.

 

Из уравнения (15)

 

кН.

 

Из уравнения (16)

кН.

 

Проверка определения опорных реакций:

 

 

Реакции в опорах определены правильно.

Определение усилий в стержнях плоской фермы. Используем метод вырезания узлов. Вырежем последовательно те узлы, в которых есть не более двух неизвестных усилий.

Узел А (рисунок 16, а). Составим уравнения равновесия (проекции сил на координатные оси):

 

(17)

(18)

 

 

Рисунок 16 – Узлы фермы:

а – узел А; б – узел С; в – узел D

 

Из уравнения (18)

 

кН.

 

Из уравнения (17)

 

кН.

 

Узел С (рисунок 16, б). Составим уравнения равновесия. Учтем, что здесь (и далее) .

(19)

 

(20)

 

Из уравнения (19)

 

кН.

 

Из уравнения (20)

 

кН.

 

Узел D (рисунок 16, в). Запишем уравнения равновесия:

 

(21)

 

(22)

 

Из уравнения (22)

 

кН.

 

Из уравнения (21)

 

кН.

 

Узел E (рисунок 17, а). Уравнения равновесия:

 

(23)

 

(24)

 

Рисунок 17 – Узлы фермы:

а – узел E; б – узел F; в – узел H

 

Из уравнения (23)

 

кН.

 

Из уравнения (24)

 

кН.

 

Узел F (рисунок 17, б). Уравнения равновесия:

 

(25)

 

(26)

 

Из уравнения (26)

 

кН.

 

Из уравнения (25)

 

кН.

Узел H (рисунок 17, в). Уравнения равновесия:

 

(27)

 

(28)

 

Из уравнения (27) кН.

 

Из уравнения (28)

 

Узел G (рисунок 18, а). Уравнения равновесия:

 

(29)

 

(30)

 

Рисунок 18 – Узлы фермы:

а – узел G; б – узел K; в – узел I

 

Из уравнения (30)

 

кН.

 

Из уравнения (29)

 

кН.

Узел К (рисунок 18, б). Уравнения равновесия:

 

(31)

 

(32)

 

Из уравнения (31)

 

кН.

 

Из уравнения (32)

 

кН.

 

Узел I (рисунок 18, в). Уравнения равновесия:

 

(33)

 

(34)

 

Выразим усилие S₁₆ из уравнения (33):

 

 

Подставим S₁₆ в уравнение (34):

 

 

 

кН.

 

Определим усилие S₁₆ из уравнения (33):

 

кН.

Узел М (рисунок 19, а). Уравнения равновесия:

 

(35)

 

(36)

 

 

Рисунок 19 – Узлы фермы:

а – узел M; б – узел N

 

Из уравнения (35)

 

кН.

 

Из уравнения (36)

 

кН.

 

кН.

 

Узел N (рисунок 19, б). Достаточно одного уравнения равновесия:

 

(37)

 

Из уравнения (37)

 

кН.

Внесем значения полученных усилий в таблицу 8. Следует отметить, что расчетные данные усилий в стержнях удобно вносить в таблицу по мере их вычисления – это облегчает последующие расчеты.

 

Таблица 8 – Расчетные усилия в стержнях плоской фермы

 

Номер стержня
Знак усилия	–	+	+	–	+	+	+	–	+	+
Усилие, кН	118,	46,	41,	93,	19,	35,	25,	74,	28,	51,

 

Окончание таблицы 8

Номер стержня
Знак усилия		–	–	+	+	–	+	+	–	+	–
Усилие, кН	0,	74,	28,	51,	24,	97,	23,	3,	119,	16,	11,

Задание 5

Определить усилия в стержнях плоской фермы. Конструктивные

схемы ферм приведены в таблице 9, исходные данные – в таблице 10.

При решении прежде всего следует рассчитать статическую определимость фермы и оценить ее геометрическую неизменяемость. Далее следует определить реакции в опорах фермы и проверить результаты решения. Реакции опор входят в уравнения равновесия (суммы проекций всех действующих сил, включая и реакции связей, на оси координат) плоской координатной системы для расчета усилий в стержнях фермы наравне с действующими активными силами.

Таблица 9 – Расчетные схемы плоских ферм

 

Продолжение таблицы 9

 

Продолжение таблицы 9

Окончание таблицы 9

 

 

Таблица 10 – Исходные данные для задания 5

 

Номер варианта	Р1, кН	Р2, кН	Р3, кН	Р4, кН	Р5, кН	а, м	h, м	, град.
						-	-	-
					-	-	-
					-		6.0	-
				-	-	-	-	-
					-	-	-
						-	-
				-	-	-	-
				-	-		5,0	-
				-	-	-	-	-
					-	-	-
				-	-	-	-
					-		6,0	-
						-	-
						-	-	-
				-	-		1,5	-
					-	-	-	-
				-	-		5,0	-
					-		3,5	-
					-		3,5	-
				-	-	-	-	-
					-		4,0	-
					-	-	-	-
						-	-	-
					-		2,4	-
				-	-		2,4	-
				-	-		2,3	-
				-	-		3,0	-
				-	-	-	-	-
					-		2,2	-
						-	-	-

 

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

На отдельные частицы, из которых состоит твердое тело, действуют силы тяжести практически параллельно (при расстоянии между частицами в 31 м угол между вертикалями сил их тяжести составляет одну угловую секунду).

Равнодействующая сил тяжести всех частиц тела называется силой тяжести этого тела.

Как бы не изменялось положение тела в пространстве, силы тяжести его отдельных частиц останутся вертикальными и практически параллельными одна другой. Из основного свойства равнодействующей системы параллельных сил известно, что она всегда проходит через одну и ту же точку – центр данной системы параллельных сил. Отсюда понятие центра тяжести: