Амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний

 

Синфазные колебания усиливают друг друга!

Интересно, что энергия суммарного колебательного движения, пропорциональная квадрату амплитуды, не равна сумме энергий каждого колебания по отдельности, ибо

 

2 Пусть j₀₁ - j₀₂ = (2k -1)p, где k = 0, 1, 2,… В этом случае говорят, что колебания происходят в противофазе. Векторная диаграмма выглядит следующим образом

 

Если А₁ > А₂, то результирующее колебание происходит синфазно с первым колебанием. Но амплитуда результирующего колебания уменьшилась:

 

В этом случае говорят, что колебания ослабляют друг друга. Очевидно, что при А₁ = А₂ результирующая амплитуда вообще будет равной нулю. Это означает, что тело не будет двигаться вообще. Колебания погасили друг друга.

3 Во всех остальных случаях, когда колебания не будут синфазными или противофазными, мы будем видеть колебания с амплитудой, большей , но меньшей, чем .

Полученные результаты имеют бесчисленное множество применений. Забегая вперед, скажем, что если, например, в определенном месте пространства происходят звуковые колебания под действием двух источников, то результирующая громкость звука может оказаться меньше, чем громкость, создаваемая каждым источником в отдельности. Если звуки, создаваемые каждым источником в отдельности, имеют одинаковую интенсивность, то при подходящих условиях эти звуки гасят друг друга, и можно сказать, что «звук + звук = молчание». Возможны также условия, когда два пучка света, падающие на экран, дают не большую, а меньшую освещенность, чем каждый пучок в отдельности; возможен даже случай, когда «свет + свет = темнота». Но об этом позже…

 

§ 2 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим сначала случай, когда материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, имеющих одну частоту. Проблема заключается в определении траектории точки, которую мы будем в этом случае наблюдать.

Пусть одно колебание происходит по оси ОХ, другое – по OY .

 

 

Понятно, что точка описывает плоскую траекторию и уравнения и можно рассматривать как уравнение этой траектории в параметрической форме. Нетрудно видеть, что это - уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами . Ориентация главных осей эллипса зависит от сдвига фаз . На рисунке показаны частные случаи таких эллипсов:

 

 

 

 

Нетрудно показать, то при сдвиге фаз эллипс вырождается в прямую на рисунке б:

 

 

Мы будем видеть колебательное движение точки вдоль прямой, проходящей через начало координат, с амплитудой .

При получаем траекторию на рисунке в:

 

 

Траекторией будет эллипс, у которого главные оси совпадают с осями координат так, как показано на рисунке г , если

 

Покажем это

 

Разделив обе части каждого уравнения на А и В соответственно, получаем

 

 

Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим почленно:

Сдвиг по фазе определит в этом случае направление движения точки. Оно будет происходить по часовой стрелке, если , и против часовой стрелки, если .

Если амплитуды колебаний по осям ОХ и OY будут равны А = В, то эллипс преобразуется в окружность радиуса А = В:

 

Важно заметить, что любое равномерное движение по окружности радиуса А с угловой скоростью может быть разложено на два взаимно перпендикулярных гармонических колебания с частотой .

Движение по эллипсу тоже может быть разложено на два взаимно перпендикулярных колебания.

Более сложной получается траектория точки, совершающей колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, если частоты колебаний не равны. В частности, если частоты относятся как целые числа, траектория оказывается замкнутой линией. Такая траектория называются фигурой Лиссажу. Ниже приведены примеры фигур Лиссажу для некоторых значений и .

§3 Сложение колебаний с близкими частотами, происходящими вдоль одной прямой

Рассмотрим случай сложения двух колебаний одного направления и одинаковой амплитуды, частоты которых и очень мало отличаются друг от друга ( << ):

 

Согласно принципу суперпозиции результирующее смещение х равно:

 

 

Не нарушая общности результата примем начальные фазы колебаний, равными нулю. Тогда

 

Введя обозначение , окончательно получаем:

 

 

 

Так как по условию близка к , то величина мала по сравнению с . Поэтому можно считать, что результирующее движение – колебание с частотой с медленно меняющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Суть процесса биений заключается в том, что амплитуда результирующего колебания периодически изменяется

 

 

 

Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина существенно положительная, тогда как косинус может быть как положительным, так и отрицательным. Поскольку косинус принимает максимальное по модулю значение дважды за период, частота изменения амплитуды вдвое больше частоты косинуса:

 

 

 

Эффект можно пронаблюдать, возбудив колебания двух камертонов с близкими частотами, например, с частотами 440 Гц и 441 Гц. В результате наложения звуковых колебаний мы будем воспринимать звуковые колебания одной частоты, но с периодически меняющейся громкостью. Частота изменения громкости 1 Гц.

 

§4 Спектральное разложение

Не вдаваясь в математические детали, отметим одно важное обстоятельство: любой физически реализуемый периодический процесс может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний (быть может в виде бесконечной суммы – интеграла):

 

 

Сумма, которой можно заменить периодический процесс , называется радом Фурье. Специальный раздел математики – Фурье-анализ - занимается математической стороной проблем, связанных с возможность представления функции в виде ряда. Отметим одно важное свойство такого представления – его единственность. Существует единственный набор необходимых частот единственный набор отвечающих этим частотам амплитуд и начальных фаз , обеспечивающих представление функции в виде суперпозиции гармонических функций.

Указанное свойство периодической функции (периодического процесса) делает целесообразным во многих физических задачах использовать гармонические колебания.

Рассмотрим пример амплитудно-модулированного колебания , где амплитуда меняется по закону . Константа ≤ 1 называется глубиной модуляции.

Для разложения этой функции в ряд Фурье не обязательно пользоваться формулами разложения в ряд, можно использовать простейшие тригонометрические преобразования:

 

 

Итак, амплитудно-модулированное колебание представляется в виде суммы трех гармонических функций (трех гармоник):

 

 

с частотами , , и амплитудами , и . Колебание называется несущим колебанием, а и - боковыми гармониками. Полученный результат удобно изобразить графически, откладывая по оси абсцисс частоты слагаемых гармонических колебаний, по оси ординат – соответствующие этим частотам амплитуды колебаний.

 

 

§5 Примеры решения задач

Задача 1 Изображение гармонического колебания на векторной диаграмме.

Три тела совершают гармонические колебания с одной частотой вдоль оси ОХ. Уравнения движения тел

 

Изобразите колебания на векторной диаграмме.

Решение:

1 Колебание изобразится вектором, длина которого равна 5 см, сонаправленным с осью ОХ.

2 Колебание изобразится вектором, длина которого 2 см, повернутого относительно оси ОХ на угол против часовой стрелки.

3 Колебание изобразится вектором, длина которого 3 см, повернутого относительно оси Ох на угол по часовой стрелке.

 

При таком способе изображения колебаний очень хорошо видны амплитуды колебаний и фазовые сдвиги между колебаниями. Следует помнить, что на одной векторной диаграмме можно изображать колебания только одной частоты! (Подумайте почему).

 

Задача 2 Запишите уравнения колебания по векторной диаграмме.

Векторная диаграмма изображает колебания трех тел. Известна зависимость координаты от времени для первого тела . Запишите зависимости координаты от времени для двух других тел.

 

Решение:

1 Вектора, изображающие колебания, нарисованы на одной диаграмме, значит, частоты колебаний всех трех тел одинаковые .

2 Амплитуда колебаний третьего тела , т.к. вектор, изображающий третье колебание вдвое короче вектора . Вектор повернут относительно вектора на угол по часовой стрелке. Это значит, что колебания третьего тела отстают по фазе от первого на .

Уравнение движения третьего тела

3 Амплитуда колебаний второго тела – это длина вектора . Из рисунка видно, что . Вектор повернут относительно на угол против часовой стрелки. Это значит, что колебания второго тела опережают первое по фазе на . Уравнение движения второго тела

Задача 3 Определение сдвига по фазе между колебаниями по векторной диаграмме.

Два тела совершают гармонические колебания с амплитудами 3см и 5 см. Векторная диаграмма этих колебаний показана на рисунке. Определите, как отличаются фазы колебаний.

Решение:

1 Вектор повернут относительно против часовой стрелки. Это значит, что колебания второго тела опережают первое по фазе .

2 Из прямоугольного треугольника ищем величину косинуса сдвига по фазе

 

Задача 4 Сложение колебаний одной частоты, происходящих вдоль одной прямой

Материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, уравнения которых

Каково результирующее движение точки?

Решение:

1 При наложении колебаний выполняется принцип суперпозиции –колебания накладываются, не искажая друг друга. То есть результирующее смещение точки в любой момент времени равно

2 Суммой двух гармонических функций одной частоты является гармоническая функция той же частоты

,

где А – амплитуда результирующего колебания, - начальная фаза результирующего колебания.

3 Амплитуду и начальную фазу результирующего колебания найдем, используя метод векторных диаграмм.

Строим вектор , длина которого равна , под углом к оси ОХ, откладывая его против часовой стрелки.

 

Строим вектор , длина которого равна , под углом , откладывая его по часовой стрелке.

4 Строим сумму векторов и . Длина результирующего вектора А численно равна амплитуде результирующего колебания. Нетрудно видеть, что вектор является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами и . Находим амплитуду результирующего колебания по теореме Пифагора . 5 Начальная фаза результирующего колебания численно равна углу между вектором и положительным направлением оси ОХ:

 

6 Результат наложения двух колебаний

 

§6 Задания для самостоятельного решения

Тест «Сложение колебаний»

1 Тело участвует в двух колебаниях одной частоты, происходящих вдоль одной прямой. От чего зависит амплитуда результирующего колебания?

А) от частоты накладываемых колебаний;

Б) от амплитуд накладываемых колебаний;

В) от сдвига по фазе между накладываемыми колебаниями;

Г) от амплитуд и сдвига по фазе между накладываемыми колебаниями.

 

2 Тело участвует в двух колебаниях одной частоты, происходящих вдоль одной прямой с амплитудами и . Какова амплитуда результирующего колебания А?

А) А = 1 см; Б) А = 5 см; В) А = 7 см; Г) 1 см ≤ А ≤ 7 см.

 

3 Тело участвует в двух колебаниях одной частоты, происходящих

 

вдоль одной прямой. Каким должен быть сдвиг по фазе между колебаниями

 

∆φ, чтобы колебания максимально усиливали друг друга?

А) ; Б) ; В) ;

 

Г) Амплитуда результирующего колебания не зависит от ∆φ.

 

4 Тело участвует в двух колебаниях одной частоты, происходящих вдоль одной прямой. Каким должен быть сдвиг по фазе между колебаниями ∆φ, чтобы колебания максимально ослабляли друг друга?

А) ∆φ = 2π ; Б) ∆φ = (2 -1)π; В) ∆φ = ;

 

Г) Амплитуда результирующего колебания не зависит от ∆φ.

 

5 Тело участвует в двух колебаниях одной частоты и фазы, происходящих вдоль одной прямой. Амплитуды колебаний равны и . Какова амплитуда результирующего колебания?

А) А = 7 см; Б) А = 13 см; В) А = 17 см; Г) 7 см ≤ А ≤ 17 см.

 

6 Тело участвует в двух колебаниях одной частоты, происходящих вдоль одной прямой в противофазе. Амплитуды колебаний равны и . Какова амплитуда результирующего колебания?

А) А = 7 см; Б) А = 13 см; В) А = 17 см; Г) 7 см ≤ А ≤ 17 см.

 

7 Тело участвует в двух колебаниях одной частоты, происходящих вдоль одной прямой. Сдвиг по фазе между колебаниями равен π/2, их амплитуды равны и . Какова амплитуда результирующего колебания?

А) А = 7 см; Б) А = 13 см; В) А = 17 см; Г) 7 см ≤ А ≤ 17 см.

 

8 Тело участвует одновременно в трех колебаниях

Какова амплитуда результирующего колебания?

А) 13 см; Б) 9,8 см; В) 7,1 см; Г) 5 см.

 

9 Тело участвует одновременно в двух колебаниях

Какова амплитуда результирующего колебания?

А) 1 см; Б) 3,6 см; В) 5 см;

Г) Колебания, совершаемые телом, не могут усиливать или ослаблять друг друга.

 

10 Тело участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковыми частотами. Какой может быть траектория тела?

А) Прямая и окружность; Б) Прямая и эллипс;

В) Окружность и эллипс; Г) Прямая, окружность и эллипс.

 

11 На рисунке показана траектория движения тела. Чему равно отношение частот колебаний тела ?

 

А) Б) В) Г)

12 На рисунке показана траектория движения тела. Чему равно отношение частот колебаний тела ?

 

А) Б) В) Г)

 

13 На рисунке показана траектория движения тела. Чему равно отношение частот колебаний тела ?

 

А) Б) В) Г)