Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести

Понятие центра параллельных сил весьма полезно для нахождения центра тяжести тела, центра объёма, сечения. (При небольших размерах тела во всех технических приложениях можно считать силы тяжести отдельных частиц тела системой параллельных сил. К примеру, угол между направлениями сил тяжести двух точек, расположенных на поверхности Земли на расстоянии 1 км друг от друга по меридиану, равен 32"). Элементарные объёмы тела весом каждый, образуют систему параллельных сил, и для них справедливы формулы (1.12), если силу заменить на . Но эти формулы являются приближёнными, так как значения координат определяются с точностью до размеров кубиков . Чем меньше размеры кубиков, тем меньшую ошибку сделаем, определяя центр тяжести по формулам (1.12). Поэтому устремим число N к бесконечности. Предел такого рода есть определённый интеграл.

(1.13)

Формула (1.13) определяет координаты центра сил тяжести частиц тела, или, спроектировав векторную запись на соответствующие оси, координаты центра тяжести тела. В этих формулах величина ρ(xyz) есть вес единицы объема, т. е, удельный вес неоднородного тела. В случае однородного тела величина ρ постоянна (не зависит от координат) и может быть вынесена за знак суммы в числителе и знаменателе, а затем сокращена. Таким образом, получаем формулы для координат центра тяжести однородного тела

Так как в последних формулах фигурируют только геометрические величины, то говорят, что они определяют центр объема.

Если параллельные силы непрерывно распределены по некоторой поверхности Ѕ однородного тела, то в формуле (1.13) надо положить ρdV=HdS где H- сила, отнесенная к единице площади по­верхности (напряжение), а dS —элементарные площадки, на которые мысленно разбита поверхность. Получаем

(1.14)

Параллельные силы могут быть также непрерывно распределены вдоль некоторой линии, как, например, силы тяжести, приложенные к тонкой проволоке, ось которой представляет данную линию. Полагаем и при однородном материале и постоянном поперечном сечении, q-вес единицы длины (погонный вес) проволоки будет постоянным, и мы получаем фор­мулы для координат центра тяжести однородной линии:

(1.15)

Фактическое разыскание координат центра тяжести объема, поверхности или линии требует применения методов интегрального исчисления. В практических приложениях часто прихо­дится иметь дело с телами или фигурами, составленными из нескольких тел, фигур, имеющих известные геометрические формы, положение центров тяжести которых известно. Для таких тел положение центра тяжести может быть определено без вычисления интегралов.

1. Если однородное тело имеет ось симметрии или плоскость симметрии, центр объёма, фигуры, будет находиться на этой оси. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр объёма будет находиться в этой плоскости. При наличии двух плоскостей симметрии центр тяжести будет находиться на линии пересечения этих плоскостей.

2. Представим себе, что однородный объём V может быть разбит на несколько объёмов , координаты центров которых известны. Тогда нетрудно найти и координаты центра объема V. В самом деле, имеем (для координаты ):

и аналогичные формулы можно написать для , тогда

(1.16)

Аналогичные формулы могут быть написаны в случае поверх­ности плоской фигуры, а также и для неоднородных тел, поверхно­стей и линий.

В случае, если для составления объема V некоторые из слагае­мых объемов нужно вычесть (тело с отверстиями), можно пользо­ваться теми же формулами (1.16), если условиться слагаемые, соот­ветствующие отбрасываемым объемам, брать с отрицательными знаками.

Рассмотрим пример. Дан сектор радиуса R, с углом 2α. Ось ОХ является осью симметрии, поэтому . Выделим в заданном секторе бесконечно малый сектор с площадью , центр выделенного сектора . Подставляя полученные формулы в (1.14), получим

Для - .

Если необходимо определить центр дуги, то , а . Подставляя полученные формулы в (1.15), имеем

.

Для - .

Определение центров тяжести линий и площадей во многих случаях может быть облегчено, если пользоваться теоремами Паппа-Гульдина. Эти теоремы гласят:

1. Боковая поверхность тела вращения, описанная дугой плоской кривой, вращающейся вокруг оси, расположенной в плоскости кри­вой и ее не пересекающей, равна длине дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести дуги. Это первая теорема. Действительно, для дуги имеем , откуда следует .

2. Объём тела вращения, описанного плоской фигурой, вращающейся вокруг оси, расположенной в плоскости фигуры и не пересекающей её контура, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описываемой её центром тяжести. Это вторая теорема.

Действительно, для сектора получаем , откуда следует

Глава 3.