Предел функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность

6. Определение 1. (Предел функции по Коши) Предел функции при стремящемся к равен (записывается ), если для каждого положительного, сколь угодно малого числа найдется число , обладающее тем свойством, что при условии выполнено условие .

Запишем это определение в терминах математической логики: .

7. Определение 2. (Предел функции по Гейне) Предел функции при стремящемся к равен , если для каждой числовой последовательности такой, что и выполнено условие .

Запишем это определение в терминах математической логики: .

8. Теорема 1. Определения 1 и 2 эквивалентны.

9. Доказательство. Пусть выполнены условия определения 1 и задано произвольное положительное число . По определению 1 для него существует число , обладающее тем свойством, что при выполнено соотношение . Зафиксируем это число и рассмотрим произвольную числовую последовательность, члены которой не равны числу , и предел которой равен . Следовательно, для этого существует номер , обладающий тем свойством, что при выполнено условие и , т. е. . Отсюда выполнено условие , а это и означает, что . Первая часть теоремы доказана.

Пусть выполнены условия определения 2. Доказательство того, что выполнены условия определения 1 проведем методом «от противного». Если определение 1 не выполняется, то это означает, что существует положительное число такое, что для любого числа , например, для найдется соответствующее , обладающее тем свойством, что при условии выполнено условие . А это означает, что построенная таким образом последовательность и в то же время не выполнено условие выполнено условие . Мы пришли в противоречие с тем, что выполнено определение 2. Теорема доказана.

10. Теорема 2. Если предел функции существует, то он единственный.

11. Определение 3. Функции называется бесконечно малой величиной в точке , если .

Итак, функция называется бесконечно малой (б. м.) в точке, если предел функции при подходе к этой точке равен 0.

12. Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. Произведение б. м. величины (функции) на ограниченную величину (функцию) есть величина б. м. в этой же точке.

13. Доказательство совершенно аналогично доказательству теорем для последовательностей.

14. Теорема 4. Функции имеет предел при стремящемся к , равный (записывается ), тогда и только тогда, когда функция является бесконечно малой величиной в точке .

15. Доказательство. Пусть , т.е. при в силу определения Коши при соответствующих условиях . Но это равносильно тому, что при тех же условиях , т. е. функция является б. м. величиной.

Под бесконечно большой величиной мы понимаем величину, обратная к которой является б. м.