Вычисление пределов. Бином Ньютона. Число e. Критерий Коши

Лекция №12!

1. Мы доказываем теорему о свойствах пределов. Пусть , , тогда , , , а если, кроме того, , , то .

2. Доказательство формулы . Мы докажем, что предел частного последовательностей равен частному от их пределов, если каждый из пределов существует, все числа в знаменателе не равны 0 и предел знаменателя не равен 0. Так как , то , где - б. м. Аналогично , где - б. м. Отсюда следует, что . Для доказательства формулы достаточно доказать, что величина является б. м. Проверим, что величина является б. м. В самом деле, легко проверить, что в полученном выражении числитель стремится к 0, а знаменатель по модулю больше некоторого положительного числа. Формула доказана.

3. Теорема 1. Монотонная и ограниченная числовая последовательность имеет предел.

4. Мы знаем, что , и т. д. Формула бинома Ньютона обобщает эти правила на случай произвольной степени.

5. Теорема 2. Справедлива формула бинома Ньютона , (6) где .

6. Доказательство. метод математической индукции. Если утверждение надо доказать для всех натуральных значений параметра , то для этого достаточно доказать это утверждение для и затем доказать, что из справедливости утверждения для следует справедливость этого утверждения для .

7. Проверим справедливость формулы (6) при . Действительно, , т. к. (проверьте) .

Пусть формула (6) справедлива при , т. е. . Вычислим . Последнее произведение представляется в виде и при этом . С другой стороны, для проверки индуктивного предположения надо доказать, что . Следовательно, для завершения доказательства теоремы Ньютона надо установить справедливость соотношения . Действительно, . Теорема доказана.

8. Кстати, величина называется числом сочетаний из по и показывает, сколькими способами можно выбрать предметов из предметов.

9. Теорема 3. Для членов числовой последовательности (7) справедливы соотношения: , .

10. Доказательство. Для величины применим формулу бинома Ньютона. Следовательно, и отсюда . Мы видим, что с ростом каждое слагаемое в последней записи и число слагаемых увеличиваются. Следовательно, . Для доказательства второй части теоремы заметим, что . Теорема доказана.

11. Теорема 4. (Больцано-Вейерштрассе) Каждая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

12. Теорема 5. (Критерий Коши) Числовую последовательность (1) сходится тогда и только тогда, когда выполнен следующий критерий: (10)

13. Доказательство. Необходимость. Достаточность.

Лекция №13!

1. Функция называется четной функцией, если для всех определено значение функции и выполнено равенство .

2. Функция называется нечетной функцией, если для всех определено значение функции и выполнено равенство .

3. Число называется периодом функции , если для всех определено значение функции и выполнено равенство . Наименьшее положительное , удовлетворяющее этому условию, называется основным периодом функции (если нет двусмысленности, то иногда просто периодом функции).

4. Множество точек вида , где называется графиком функции . Если функция четная, то ее график функции симметричен относительно оси ординат. Если функция нечетная, то ее график функции симметричен относительно начала координат.