Сформулируйте теоремы о перемещениях плоской фигуры. Сделайте соответствующие рисунки

Т1: Всякое перемещение плоской фигуры в её плоскости можно осуществлять посредством поступательного перемещения вместе с произвольной точкой (полюсом) и вращением вокруг этого полюса.

Т2 (Эйлера-Шаля): Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в её плоскости может быть осуществлено посредством одного вращения вокруг некоторого центра, называемого центром конечного вращения.

23. Запишите формулу распределения скоростей точек плоской фигуры. Как определить скорость точки плоской фигуры с помощью формулы? Сделайте соответствующий рисунок.

Скорость любой точки плоской фигуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости другой, произвольно выбранной и принятой за полюс, точки А и скорости точки В в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса.

24. Что называется мгновенным центром скоростей? Как определить положение мгновенного цетра скоростей в общем и частных случаях? Сделайте соответствующие рисунки.

- При всяком непоступательном перемещении плоской фигуры существует единственная точка этой фигуры, скорость которой в данный момент равная нулю. Точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей.

- Для определения положения мгновенного центра скоростей Р надо знать только направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В сечения S. Мгновенный центр скоростей находиться в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек А и В к скоростям этих точек.

Пусть скорости и любых двух точек А и В параллельны друг другу и при этом линия АВ не перпендикулярна к , а следовательно, и к . Из теоремы о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки, следует, что: , но , поэтому = и, следовательно, = . Таким образом, в рассматриваемом случае скорости всех точек плоской фигуры в данный момент равны и по модулю, и по направлению. Такое состояние плоской фигуры называется мгновенно поступательным. Так как перпендикуляры, восстановленные из точек А и В к скоростям этих точек, не пересекаются, то в рассматриваемом случае в данный момент мгновенный центр скоростей находится в бесконечности. Угловая скорость плоской фигуры в этот момент равна нулю.

Пусть скорости и точек А и В параллельны друг другу и эти точки лежат на одном перпендикуляре к данным скоростям. В этом случае при мгновенный центр скоростей Р определяется построениями.

В этом случае для нахождения мгновенного центра скоростей Р нужно, кроме направлений, знать еще и модули скоростей и .

В практических задачах часто приходится иметь дело со случаем, когда плоская фигура катится без скольжения по некоторой неподвижной кривой MN.

В этом случае скорость точки касания контура плоской фигуры с кривой MN равна нулю, так как точки касания обоих тел при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые скорости, а кривая MN неподвижна. Отсюда следует, что точка касания Р является мгновенным центром скоростей плоской фигуры.

Как определить скорость точки плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей? Запишите необходимые формулы, пояснив их на рисунке. Каковы будут скорости точек плоской фигуры в том случае, когда мгновенный центр скоростей этой фигуры окажется на бесконечности?

Для определения скорости любой точки тела достаточно знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А тела и направление скорости другой его точки В. Тогда, восстановив из точек А и В перпендикуляры к направлениям их скоростей и , найдём положение мгновенного центра скоростей Р и по направлению скорости определим направление вращения тела. После этого, зная модуль скорости , найдём по формуле скорость точки В.

АР и АВ – мгновенные радиусы вращения.

Модуль угловой скорости тела, как видно из формулы в каждый момент равен отношению модуля скорости какой-нибудь точки сечения S к расстоянию этой точки до мгновенного центра скоростей Р. Кроме того, модуль угловой скорости тела можно определить с помощью формулы:

Пусть скорости и любых двух точек А и В параллельны друг другу и при этом линия АВ не перпендикулярна к , а следовательно, и к . Из теоремы о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки, следует, что: , но , поэтому = и, следовательно, = . Таким образом, в рассматриваемом случае скорости всех точек плоской фигуры в данный момент равны и по модулю, и по направлению. Такое состояние плоской фигуры называется мгновенно поступательным. Так как перпендикуляры, восстановленные из точек А и В к скоростям этих точек, не пересекаются, то в рассматриваемом случае в данный момент мгновенный центр скоростей находится в бесконечности. Угловая скорость плоской фигуры в этот момент равна нулю.

Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры. Как определить скорость фигуры с помощью этой теоремы? Запишите необходимую формулу, пояснив её с помощью рисунка.

Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Предположим что известны модуль и направление скорости точки А и направление скорости точки В. Принимая точку А за полюс, можно записать:

Проецируя обе части этого неравенства на линию АВ и учитывая, что вектор перпендикулярен к АВ, приходим к результату: .

27. Запишите формулу распределения ускорений плоской фигуры. Как определить ускорение точки плоской фигуры с помощью формулы распределения ускорений? Сделайте соответствующий рисунок.

Ускорение любой точки В плоской фигуры в каждый данный момент времени равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения произвольного полюса А и ускорения точки В в её вращательном движение вместе с полюсом фигурой вокруг этого полюса.

подставив: , получим: .

28. Какая точка называется мгновенным центром ускорений? Как определить положение МЦУ и как с его помощью определить ускорение любой точки плоской фигуры? Сделайте соответствующий рисунок.

При непоступательном движении плоской фигуры в её плоскости, на фигуре (или на вязанной с ней подвижной плоскостью) в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений.

Если известно ускорение какой-либо точки А плоской фигуры, а также её угловая скорость и угловое ускорение. Тогда положение мгновенного центра ускорений определяется следующим образом:

1. Находим значение угла из формулы: .

2. Из точки А, ускорение которой известно, под углом к вектору проводим полупрямую AN, которая должна быть отклонена от на угол в сторону вращения фигуры, если вращение ускоренное, и против вращения, если оно является замедленным, то есть в строну направления углового ускорения , показанного на рисунку дуговой стрелкой.

3. На полученной полупрямой AN отложим отрезок . Конец Q этого отрезка и будет мгновенным центром ускорений.

Если точку Q выбрать за полюс, то, поскольку , ускорение любой точки М плоской фигуры, согласно формуле , будет равно ускорению точки М во вращательном движении этой точки вокруг мгновенного центра ускорений, то есть: . Модуль ускорения точки М будет равен . Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение было вращательным вокруг мгновенного центра ускорений. При этом выполняются следующие условия: .

Как формулируется теорема о перемещении твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку? Поясните с помощью рисунка, как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при движении тела в одной неподвижной точкой?

- Произвольное перемещение твердого тела вокруг неподвижной точки можно осуществить одним поворотом вокруг определенным образом выбранной оси, проходящей через эту точку и называемой осью конечного вращения. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек, скорости которых в данный момент равны нулю.

- Угловая скорость с которой происходит элементарный поворот тела вокруг мгновенной оси вращения, называется мгновенной угловой скоростью. Следует иметь в виду, что не равен производной от угла , так как при сферическом движении тела такого угла не существует. Мгновенная угловая скорость должна быть задана в функции времени непосредственно. Ее можно изобразить вектором , направленным по мгновенной оси вращения ОР так, чтобы, глядя с конца вектора , видеть вращение тела против хода часовой стрелки. При движении тела вектор в общем случае изменяется и по величине, и по направлению. Производная от по времени определяет вектор называемый мгновенным угловым ускорением, или угловым ускорением тела в данный момент времени. Направление вектора совпадает с направлением касательной к годографу вектора и изображается отложенным от точки О.