Как определяется модуль и направление скорость точки при координатном способе задания движения?

Какие способы задания движения точки применяются в кинематике и в чем они состоят? Как определить траекторию при координатном способе задания точки?

Движение точки в пространстве определяется тремя основными способами: векторным, координатным и естественным.

Векторный: выберем некоторый неподвижный центр О и проведём из центра в точку М, движение которой изучаем, радиус-вектор r. При движении точки М радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Каждому моменту времени t соответствует определённое значение r. Следовательно, радиус-вектор однозначно определяет положение точки М. таким образом, чтобы определить движение точки, нужно задать её радиус-вектор в виде однозначной и непрерывной функции времени r: r=r(t).

Координатный: Если координаты точки заданы как однозначные функции времени: x=x(t), y=y(t), z=z(t), то положение точки М в пространстве известно в каждый момент времени. Эти уравнения определяют закон движение точки и называются уравнениями её движения.

Естественный: этот способ задания движения применяется в том случае, когда траектория точки, относительно выбранной системы отсчёта, известна. При движении точки М криволинейная координата s будет изменяться с течением времени, то есть: s=s(t). Зная это уравнение, можно определить положение точки в каждый момент времени. Его называют уравнением движение или законом движения вдоль заданной траектории.

Зададим положение точки в пространстве координатным особом: x=x(t), y=y(t), z=z(t) (*). Чтобы определить положение точки в начальный момент времени (t=0) необходимо в уравнения (*) подставить t=0. Теперь, для определения траектории точки: s=s(t) воспользуемся формулой длины дуги кривой: или, с учётом того, что дифференцирование производиться по времени, можно переписать так: . Знак «+» берётся в том случае, когда точка движется в сторону с положительного отсчёта криволинейной координаты s.

Какая зависимость существует между радиус-вектором движущейся точки и вектором скорости этой точки? Как направлен вектор скорости криволинейного движения точки по отношению к её траектории?

Разложим радиус вектор по ортам декартовой системы координат: . Теперь продифференцируем равенство по времени. В результате получим разложение скорости по ортам : , разложение можно представить так: , где , , - проекции вектора скорости на оси координат. Таким образом, проекции скорости на неподвижные декартовы оси координат равны первым производным по времени соответствующих координат движущейся точки.

При векторном: Для того, чтобы точно вычислить скорость точки в данный момент времени, необходимо перейти в формуле перейти к пределу при стремлении промежутка времени к нулю, то есть: . Этот предел представляет собой первую векторную производную по времени от радиус-вектора точки по времени . Как следует из этих формул, вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону её движения.

При координатном: Найдём модуль скорости, зная её проекции: . Для определения направления вектора скорости воспользуемся направляющими косинусами:

, , . В итоге мы всё же прижжем к выводу, что вектор скорости направлен по касательной к траектории.

При естественном: , известно, что . Вектор есть единичный вектор касательной к траектории (её орт), направленный в сторону возрастания криволинейной координаты s. Обозначая орт касательной запишем начальную формулу так: , домножим левую и правую часть уравнения на единичный вектор : . Перепишет выражение так: . Таким образом, видно, что вектор скорости направлено по касательной к траектории точки.

Как определяется модуль и направление скорость точки при координатном способе задания движения?

, , Таким образом, проекции скорости на неподвижные декартовы оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки. Из равенств следует, что проекции скорости точки на координатные оси равны скорости проекций этой точки на те же оси. Зная проекции вектора скорости точки, найдём его модуль: .

Для определения направления вектора скорости воспользуемся направляющими косинусами:

, , .

Какая зависимость существует между радиус-вектором движущейся точки и вектором ускорения точки? Как направлен вектор ускорения криволинейного движения точки по отношению к её траектории, в какой плоскости он лежит?

, при стремлении к нулю получаем следующий предел: , этот предел называют ускорение точки в данный момент времени. Так как вектор скорости есть первая производная радиус-вектора точки по времени, то: . Таким образом, ускорение точки в данный момент времени, есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени.

Установим теперь положение вектора относительно траектории. Отметим, что плоскость треугольника МАВ, образованного векторами , и , при будет поворачиваться вокруг вектора , т.е. вокруг касательной к траектории в точке М, и займёт в пределе определённое предельной положение. Это предельное положение плоскости МАВ называется соприкасающейся плоскостью в точке М траектории. Вектор среднего ускорения направлен так же, как и , т.е. в сторону вогнутости кривой, и всё время находиться в плоскости треугольника МАВ. Предел вектора при есть вектор , который расположен в предельном положении треугольника МАВ, т.е. в соприкасающейся плоскости траектории точки М. Итак, вектор полного ускорения точки находиться в соприкасающейся плоскости траектории точки М направлен в сторону вогнутости траектории.