Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения

В этом случае векторы и перпендикулярны (рис. 79). На линии , перпендикулярной плоскости, в которой расположены и , имеется точка , скорость которой равна нулю. Определим ее расстояние от точки .

По теореме сложения скоростей для точки имеем

,

так как при вращении вокруг оси .

Учитывая, что скорости и противоположны по направлению, получим

.

Так как , то и, следовательно, точки и находятся на расстоянии

. (146)

Другие точки, имеющие скорости, равные нулю, располагаются на линии, проходящей через точку , параллельно оси вращения тела с угловой скоростью . Таким образом, имеется мгновенная ось вращения, параллельная оси относительного вращения и проходящая через точку . Для определения угловой скорости абсолютного вращения вычислим скорость, например, точки двумя способами. Считая движение сложным, имеем

.

Точка находится на оси относительного вращения, и поэтому . Скорость переносного движения в рассматриваемом случае переносного поступательного движения равна . Следовательно, , . С другой стороны, эквивалентное абсолютное движение тела является вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через точку с угловой скоростью . Поэтому для скорости точки имеем

.

Приравнивая скорости точки , вычисленные двумя способами и используя (146), получаем

, или , или .

Вращение вокруг мгновенной оси должно иметь такое направление, чтобы скорость точки имела такое же направление, что и скорость . Отсюда получаем совпадение направлений вращения относительного и абсолютного вращений. Следовательно, . Таким образом, при сложении поступательного переносного и вращательного относительного движений твердого тела, у которого скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения, эквивалентное абсолютное движение является вращением вокруг мгновенной оси, параллельной оси относительного вращения с угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью относительного вращения.

Такой же результат можно получить, если поступательное движение со скоростью заменить парой вращений , выбрав . Два вращения с угловыми скоростями и можно отбросить, так как , и абсолютным движением окажется вращение с угловой скоростью . Скорость поступательного движения равна моменту пары вращений. Приравнивая их, получим или

,

что совпадает с (146).

Еще одна интерпретация рассмотренного случая получается, если рассмотреть параллельный перенос скользящего вектора угловой скорости в точку . Такой перенос, как известно, следует компенсировать парой вращений, эквивалентной поступательному движению со скоростью .

На поступательное переносное и вращательное относительное с осью вращения, перпендикулярной к скорости переносного движения, разлагается плоское движение твердого тела. Так, плоское движение без скольжения колеса по прямой (рис. 80) можно составить из поступательного движения колеса вместе с центром со скоростью и относительного вращательного вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью . Это же движение можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через МЦС, который, совпадает с точкой . Угловая скорость этого абсолютного вращения , и оно имеет то же направление вращения, что и относительное вокруг оси, проходящей через точку . Если в качестве точки используется другая точка колеса, например точка , то изменится только скорость переносного поступательного движения. Она будет равна скорости точки . Угловая скорость вращения тела вокруг оси, проходящей через точку , по величине и направлению будет той же самой, что и вокруг осей, проходящих через точки и .

Винтовое движение

Движение, при котором скорость переносного поступательного движения тела параллельна оси относительного вращения, называется винтовым движением твердого тела (рис. 81). Ось вращения тела в этом случае называется винтовой осью. При винтовом движении тело движется поступательно параллельно оси винтового движения и вращается вокруг этой оси. Винтовое движение не приводится к какому-либо другому одному простому эквивалентному движению.

При винтовом движении векторы и могут иметь как одинаковые, так и противоположные направления. Винтовое движение тела характеризуется параметром винтового движения, которым считают величину . Если и изменяются с течением времени, то и параметры винтового движения являются переменными. В общем случае , , , т.е. есть перемещение тела вдоль оси винтового движения при повороте тела на один радиан.

Для скорости точки тела, совершающего винтовое движение, по теореме сложения скоростей имеем

.

Но , , где – расстояние точки до винтовой оси. Скорости и перпендикулярны. Следовательно,

.

Учитывая, что , получаем

. (147)

Если тело вращается с постоянной угловой скоростью и имеет постоянную скорость поступательного движения, то такое движение тела называется постоянным винтовым движением. В этом случае точка тела при движении все время находится на поверхности кругового цилиндра с радиусом . Траекторией точки является винтовая линия. Кроме параметра в рассматриваемом случае вводят шаг винта, т.е. расстояние, на которое переместится какая-либо точка тела при одном обороте тела вокруг оси винтового движения. Угол поворота тела при вычисляется по формуле . Для одного оборота тела . Необходимое для этого время

.

За время точка переместится в направлении, параллельном винтовой оси, на шаг винта

.

Отсюда получается зависимость шага винта от параметра винтового движения .

Уравнения движения точки тела по винтовой линии (рис. 82) в декартовых координатах выражаются в следующей форме:

;

;

.

В этих уравнениях величины , и являются постоянными.

Общий случай

Пусть скорость переносного поступательного движения и угловая скорость относительного вращения образуют угол . Случаи, когда , уже рассмотрены.

Разложим скорость (рис. 83) на две перпендикулярные составляющие и . При этом направим параллельно . Тогда:

, .

Переносное движение со скоростью и относительное вращение с угловой скоростью эквивалентны вращению вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью (согласно случаю первому), причем .

Скорость поступательного движения имеют все точки тела. Таким образом, получено винтовое движение с винтовой осью, отстоящей от первоначальной оси вращения на величину

.

Параметр полученного винтового движения

.

Общий случай переносного поступательного и относительного вращательного движений твердого тела оказался эквивалентным мгновенному винтовому движению.