Сложение вращений вокруг параллельных осей

Следует рассмотреть три случая.

1) Вращения имеют одинаковые направления. Тело участвует в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью (рис. 71). Таким телом является диск, представленный на рис. 72. Пересечем оси вращения перпендикулярной прямой. Получим точки пересечения и , в которые можно перенести векторы угловых скоростей и . На отрезке тела в рассматриваемый момент имеется точка , скорость которой равна нулю. Действительно, по теореме сложения скоростей для точки имеем

.

Точки тела, для которых переносная и относительная скорости параллельны и противоположны, могут находиться только на отрезке между точками и . Скорость точки равна нулю, если Но , . Следовательно,

, или

. (138)

Прямую, перпендикулярную осям вращения, можно провести на любом расстоянии. Следовательно, существует ось, скрепленная с телом и параллельная осям вращения, скорости точек которой равны нулю в данный момент. Она является мгновенной осью вращения в рассматриваемый момент времени.

Для определения угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси вычислим скорость точки , считая ее движение сложным. Получим:

,

но , .

Следовательно,

.

Для скорости точки при вращении тела вокруг мгновенной оси имеем

.

Приравнивая скорости точки , полученные двумя способами, имеем

, .

Согласно (138)

.

Поэтому

, т.е

. (139)

Формулу (138) можно представить в виде:

.

Образуя производную пропорцию и используя формулу (139), получим

,

Или

. (140)

Таким образом, при сложении двух вращений тела вокруг параллельных осей в одинаковых направлениях получается вращение вокруг параллельной оси в том же направлении с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось полученного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям вращений, внутренним образом. Точка при таком делении располагается между точками и .

Справедливо обратное. Вращение вокруг оси с угловой скоростью можно разложить на два вращения вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и .

Тело, участвующее в двух вращениях вокруг параллельных осей, совершает плоское движение. Плоское движение твердого тела можно представить как два вращения, переносное и относительное, вокруг параллельных осей. Плоское движение колеса сателлита 2 по неподвижному колесу 1 (рис. 73) является примером движения, которое можно заменить двумя вращениями вокруг параллельных осей в одном и том же направлении, например против движения часовой стрелки. Колесо сателлита совершает переносное вращение вместе с кривошипом вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью , и относительное вращение вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью . Оба вращения имеют одинаковые направления. Абсолютное вращение происходит вокруг оси, проходящей через точку , которая является в данный момент МЦС. Она находится в месте соприкосновения колес, если подвижное колесо катится без скольжения по неподвижному. Угловая скорость абсолютного вращения

.

Абсолютное вращение с этой угловой скоростью происходит в том же направлении, что и составляющие движения.

2) Вращения имеют противоположные направления. Рассмотрим случай, когда (рис. 74). Получим следующие формулы:

, (141)

,

или:

. (142)

Для вывода этих формул разложим вращение с угловой скоростью на два вращения в том же направлении вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и . Ось одного из вращений с угловой скоростью возьмем проходящей через точку и выберем . Другое вращение с угловой скоростью пройдет через точку (рис. 75). На основании (139) и (140) имеем

, ,

или:

, .

Справедливость формул (141) и (142) доказана. Таким образом, при сложении двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей в противоположных направлениях получается вращение вокруг параллельной оси с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений в сторону вращения с большей угловой скоростью. Ось абсолютного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений внутренним образом. Точка при таком делении находится на отрезке за точкой , через которую проходит ось вращения с большей угловой скоростью.

Можно также одно вращение разложить на два вокруг параллельных осей с противоположными направлениями вращения. Примером плоского движения твердого тела, которое может быть представлено двумя вращениями вокруг параллельных осей в противоположных направлениях, является движение колеса сателлита, катящегося внутри неподвижного колеса без скольжения (рис. 76). Переносным в этом случае является вращение колеса 2 вместе с кривошипом с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через точку . Относительным будет вращение колеса 2 вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью , и абсолютным – вращение этого колеса вокруг оси, проходящей через МЦС, точку , с угловой скоростью . В этом случае и потому угловая скорость абсолютного вращения . Это вращение по направлению совпадает с направлением вращения, имеющим большую угловую скорость. Ось абсолютного вращения расположена вне отрезка за осью вращения с большей угловой скоростью.

3) Пара вращений. Парой вращений называется совокупность двух вращений твердого тела, переносного и относительного, вокруг параллельных осей с одинаковыми угловыми скоростями в противоположных направлениях (рис. 77). В этом случае . Рассматривая движение тела как сложное, по теореме сложения скоростей для точки имеем

. (143)

Составляющие движения являются вращениями с угловыми скоростями и . По формуле Эйлера для них получим

, .

После этого для абсолютной скорости имеем

,

так как . Учитывая, что , получаем

. (143')

Так как векторное произведение можно назвать моментом угловой скорости относительно точки , то

.

Заменяя в формуле (143') на , получим

Объединяя результаты, имеем

,

или

, (144)

где является векторным моментом пары вращений .

Таким образом, если твердое тело участвует в паре вращений, то скорости всех точек тела, согласно (144), одинаковы, т.е. тело совершает при этом мгновенное поступательное движение. При длительном участии тела в паре вращений будет длительным и поступательное движение.

Скорость поступательного движения тела

Она равна векторному моменту пары вращений, который может быть также выражен векторным моментом одной из угловых скоростей относительно какой-либо точки, расположенной на оси вращения тела с другой угловой скоростью, входящей в пару вращений. Скорость поступательного движения тела, участвующего в паре вращений, зависит только от характеристик пары вращений. Она перпендикулярна осям пары вращений. Числовое ее значение можно выразить как

, (145)

где – кратчайшее расстояние между осями пары или плечо пары.

Пара вращений аналогична паре сил, действующей на твердое тело. Угловые скорости вращения тела, аналогично силам, являются векторами скользящими. Векторный момент пары сил является вектором свободным. Аналогичным свойством обладает и векторный момент пары вращений.

Пару вращений и ее эквивалентность поступательному движению можно наглядно продемонстрировать на приборе (рис. 78), состоящем из неподвижной 1 и подвижной 2 шестеренок, соединенных цепью. При вращении кривошипа вокруг оси, проходящей через точку , шестеренка 2 будет участвовать в двух вращениях вокруг параллельных осей: переносном вместе с кривошипом и относительном вокруг оси, проходящей через точку . Вращения противоположны. Их угловые скорости одинаковы. Скорости всех точек шестеренки 2 равны скорости точки , причем все время при движении этой шестеренки.

Если с шестеренкой 2 скрепить прямолинейный отрезок , то он при движении механизма будет оставаться параллельным своему первоначальному положению. Если этот горизонтальный отрезок совместить с дном стаканчика с водой, прикрепив стаканчик к подвижной шестеренке, то вода не выльется из стаканчика при движении механизма в вертикальной плоскости.

При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы. Точка описывает окружность радиуса . Траектории всех других точек подвижной шестеренки будут тоже окружностями такого же радиуса. Тело, участвующее в паре вращений, совершает плоское поступательное движение.