Скорость в декартовых координатах

Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат (рис. 6). Получим

, , (7)

где – координаты точки ; – единичные векторы осей координат; – проекции скорости на оси координат.

Учитывая (7), согласно определению скорости, имеем:

, , (8)

так как вектора не изменяются при движении точки . Точки над означают их производные по времени. Сравнивая (7) и (8), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:

, , . (9)

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:

(10)

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат и в этой плоскости, получим:

, , , , .

Соответственно:

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например , направляют по траектории (рис. 7). Тогда

, , , , , , .

Уравнение годографа вектора скорости

Известны уравнения движения точки в декартовых координатах. Получим уравнения годографа вектора скорости. На рис. 8 изображены траектория точки и несколько векторов скорости в выбранном масштабе для различных моментов времени, а на рис. 9 представлен годограф вектора скорости этого движения. Точке на траектории соответствует точка на годографе вектора скорости.

Координаты точки , согласно определению годографа, выражаются через проекции вектора скорости на оси координат по формулам:

, , .

Если оси координат для годографа вектора скорости параллельны соответствующим осям координат, относительно которых заданы уравнения движения точки, то

, , .

Параметрические уравнения годографа вектора скорости принимают такую форму:

, , .

Исключая из этих уравнений параметр , получим уравнения годографа вектора скорости в координатной форме.

Годограф вектора скорости дает наглядное представление о скоростях движущейся точки в разные моменты времени. Он также позволяет определить направление вектора ускорения, так как ускорение параллельно касательной к годографу вектора скорости.

Ускорение точки в декартовых координатах

Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим

, (11)

где – проекции ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения и формулам (7) и (8), имеем

. (12)

Сравнивая (11) и (12), получаем формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:

, , . (13)

Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.

Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам

. (14)

При движении точки по плоскости, оси и выбирают в этой же плоскости. Тогда , . Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид

, , .

Соответственно

Для прямолинейного движения ось направим по траектории точки. Тогда, , , , .

Формулы для ускорения и его проекций на ось примут вид:

, , .