Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела

Выразим скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки тела в векторной форме. Скорость точки по модулю и направлению можно представить векторным произведением

, (65)

где – радиус-вектор точки , проведенный из произвольной точки оси вращения , например точки (рис. 30). Выражение (65) называется векторной формулой Эйлера. Убедимся в справедливости этой формулы проверкой. Действительно, вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы, входящие в векторное произведение. По направлению он параллелен скорости , направленной по касательной к окружности. Модуль векторного произведения:

,

так как . Таким образом, векторное произведение по модулю и направлению определяет скорость точки. Следует только считать этот вектор приложенным в точке ; он не зависит от точки приложения вектора на оси вращения, а также точки оси, в которой помещено начало вектора . В частности, в качестве радиуса-вектора можно использовать вектор , направив его из точки в точку . Из определения ускорения и векторной формулы Эйлера имеем:

Учитывая, что , , получаем

. (66)

Первое слагаемое в (66) является касательным ускорением, а второе – нормальным, т. е.

, . (67)

В справедливости (67) убеждаемся вычислением их правых частей. Имеем

,

что совпадает с касательным ускорением. Направление вектора параллельно вектору касательного ускорения (рис. 31). Для векторного произведения имеем

,

так как векторы и взаимно перпендикулярны. Направление вектора параллельно вектору нормального ускорения и направлено от точки к оси вращения, поэтому

,

если условиться вектор направлять от оси вращения. Справедливость формул (67) установлена.

Из определения скорости точки известно, что

,

где – радиус-вектор точки, проведенный из любой неподвижной точки, в частности из любой точки на оси вращения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Но скорость точки при вращательном движении тела определяется по векторной формуле Эйлера

.

Сопоставление двух формул для скорости точки дает формулу для вычисления производной по времени от вектора :

. (68)

В этой формуле вектор имеет постоянный модуль, так как соединяет все время две точки твердого тела. Вектор , являясь угловой скоростью вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, выполняет также роль угловой скорости вращения вектора , жестко скрепленного с телом.

Формула (68) остается справедливой также для вектора , начало которого находится в любой точке тела, а не только на оси вращения. По этой формуле вычисляется производная по времени от любого вектора, величина которого постоянна.