Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Решить систему линейных уравнений общего вида с числом уравнений m меньшим или равным числу неизвестных n значит ответить на вопросы: имеет ли решение система или нет, то есть, является совместной или несовместной; если совместна, то является ли определенной , то есть имеет единственное решение, или не определенной – имеет множество решений.

Метод Гаусса помимо возможности исследовать позволяет, в случае совместной системы, одновременно получить ее решение. Другое название метода Гаусса, точно выражающее его суть, - метод последовательного исключения неизвестных. Основная идея метода: из 1-го уравнения выразить через остальные неизвестные и, подставляя выражение для в каждое из последующих уравнений, исключить из этих уравнений вначале . Затем из полученного второго уравнения с исключенным выразить через остальные неизвестные, подставить это выражение для в каждое из последующих m-2 уравнений и таким образом из этих уравнений уже помимо и исключить и . Процесс исключения неизвестных можно продолжить и получить в конечном результате либо одно уравнение с одним неизвестным (определенная система), либо одно уравнение с несколькими неизвестными (неопределенная система), либо уравнение с противоречащими левой и правой частями (несовместная система). Применение метода Гаусса состоит в преобразовании заданной системы в равносильные системы, удовлетворяющие одним и тем же значениям неизвестных.

Преобразования системы выполняются действиями:

1) умножением любого из уравнений на любое действительное число;

2) алгебраическим сложением любых двух уравнений, умножением на любые действительные числа;

3) перестановкой уравнений своими местами;

4) исключением из системы уравнения, приведенного к виду равенства нулевых левой и правой частей: .

Решить систему методом Гаусса:

На примере заданной системы, содержащей 4 уравнения с 4-мя неизвестными, основную идею метода Гаусса возможно осуществить следующим образом:

1) разделить каждое уравнение на коэффициент при , чтобы приравнять коэффициенты при :

2) из второго, третьего и четвертого уравнений вычесть первое уравнение, чтобы из 2-го, 3-го и 4-го уравнений исключить :

3) разделить второе, третье и четвертое уравнения на коэффициент при :

4) из третьего и четвертого уравнений вычесть второе уравнение, чтобы из 3-го и 4-го уравнений исключить :

5) разделить 3-е и 4-е уравнения на коэффициент при , чтобы приравнять коэффициенты при :

6) из четвертого уравнения вычесть третье уравнение, чтобы из 4-го уравнения исключить :

Путем равносильных преобразований, последовательно исключая неизвестные, заданную систему привести к виду, содержащему одно уравнение с одним неизвестным. Такая система является совместной и определенной. Чтобы получить решение, из 4-го уравнения находим и , в обратном порядке, из 3-го уравнения получим , из второго - , а из первого - :

Проверка:

Ответ:

.