Основы теории комплексных чисел

По данной теме сначала изучите главу 3 §12-17 учебника [ 3]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия.

Комплексными числами называются числа вида , где a и b – действительные числа, а число i, определенное равенством , называется мнимой единицей. Для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1) два комплексных числа и называются равными, если = и = ;

2) суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число ( + )+( + )i;

3) произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число ( - )+ ( + )i.

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Действительное число а называется действительной частью комплексного числа , а действительное число b – мнимой частью.

Любое действительное число а содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: .

При а=0 комплексное число обращается в чисто мнимое число .

Комплексное число называется комплексно сопряженным с числом и обозначается , то есть .

Комплексные числа вида и называются противоположными.

Модулем комплексного числа называется число .

Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число: , причем тогда и только тогда, когда .

Комплексное число можно изображать точкой плоскости с координатами .

При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке О (0, 0) и концом в точке М .

Поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора с началом в точке и концом в точке .

Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают следующие свойства.

I. Длина вектора равна .

II. Точки и симметричны относительно действительной оси.

III. Точки и - симметричны относительно точки =0.

+

IV. Число геометрически изображается как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам и

 

 

 

V. Расстояние между точками и равно

 

 

Угол между действительной осью Ох и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа . Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по движению часовой стрелки – отрицательной.

Аргумент комплексного числа записывается так:

или

Для числа аргумент не определен.

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно; любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называется главным значением аргумента.

Из определения тригонометрических функций следует, что если , то имеют место равенства:

; (*)

Справедливо и обратное утверждение, то есть, если выполняются оба равенства, то . Таким образом, все значения аргумента можно находить, решая совместно уравнения (*).

Значения аргумента комплексного числа можно находить и так:

1) определить, в какой четверти находится точка (использовать геометрическую интерпретацию числа );

2) найти в этой четверти угол , решив одно из уравнений (*) или уравнение ;

3) найти все значения аргумента числа z по формуле .