Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии

 

Пусть:

- дана система материальных точек массами m_i, i=1,2…n;

- - равнодействующая внутренних консервативных сил, действующих на i – тую точку системы;

- - равнодействующая внешних консервативных сил, действующих на i – тую точку системы;

- неконсервативные силы отсутствуют;

- v_i<<c.

 

Запишем для всех точек системы второй закон Ньютона в виде:

, где i=1,2…n.

Пусть за dt каждая из точек под действием сил переместится на . Умножая каждое из предыдущих уравнений на соответствующее ему последующее, имеем:

, где i=1,2…n ,

или: , где i=1,2…n .

Сложим эти уравнения и получим:

. (3.5.1)

Первый член этого равенства – приращение кинетической энергии системы, так как: .

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии системы:

.

Тогда уравнение (3.5.1)можно записать в виде:

.

 

Откуда: . Т.е. полная механическая энергия такой системы сохраняется. Итак:

Закон сохранения полной механической энергии:В системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется.

Этот закон связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Существует еще один вид систем – диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс называется диссипацией (рассеянием) энергии. Строго говоря, все системы в природе – диссипативные.

Общефизический закон сохранения энергии: В изолированной системе энергия может переходить из одной формы в другую, но ее количество остается постоянным.

 

 

Соударение тел.

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар(или соударение) - это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т.д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления : .

Если для сталкивающихся тел =0, то такие тела называются абсолютно неупругими,если =1 - абсолютно упругими.На практике для всех тел 0< <1 (например, для стальных шаров 0,56, для шаров из слоновой кости 0,89, для свинца 0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным,если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар- столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Обозначим скорости шаров массами и до удара через и (рис. 3.4). При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицательное - движению влево.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид:

, (3.6.1)

. (3.6.2)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (3.6.1) и (3.6.2), получим

, (3.6.3)

, (3.6.4)

откуда: . (3.6.5)

Решая уравнения (3.6.3) и (3.6.5), находим

, (3.6.6)

. (3.6.7)

Рассмотрим несколько частных случаев.

 

1) При =0

, (3.6.8)

. (3.6.9)

Проанализируем выражения (3.6.8) и (3.6.9) для двух шаров различных масс:

а) > . Первый шаг продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью ( ). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара ( ) (рис. 3.5).

 

 

б) < . Направление движения первого шара при ударе изменяется - шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.е. (рис. 3.6).

 

в) >> (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (3.6.8) и (3.6.9) следует, что , .

 

2) При = выражения (3.6.6) и (3.6.7) будут иметь вид

, ,

т.е. шары равной массы "обмениваются" скоростями.

 

Абсолютно неупругий удар- столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 3.7).

Если массы шаров и , их скорости до удара и , то, используя закон сохранения импульса, можно записать

,

откуда

. (3.6.10)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом.

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит "потеря" кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту "потерю" можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

.

Используя (3.6.10), получим

.

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно ( ), то

, .

Когда >> (масса неподвижного тела очень большая), то v<< и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей ( >> ), тогда и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар - пример того, как происходит "потеря" механической энергии под действием диссипативных сил.