Закон сохранения импульса. Уравнение движения тела с переменной массой. Формула Циолковского

ТЕМА 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, массы и скорости которых соответственно равны Пусть равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

. . . . . . . . .

.

Складывая эти уравнения, получим

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

,

или

, (3.1.1)

где импульс системы, равный геометрической сумме импульсов тел, входящих в систему.

Таким образом,производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (для замкнутой системы)

(3.1.2)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса.

Импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени при любых движениях тел внутри системы.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики) и для любых скоростей движения частиц. Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства - его однородности. Однородность пространствазаключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются.

Отметим, что, согласно (3.1.1), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т.п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость , то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m-dm, а скорость станет равной . Изменение импульса системы за отрезок времени dt

где - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

Если на систему действуют внешние силы, то , поэтому

= ,

или

(3.1.3)

Второе слагаемое в правой части (3.1.3) называют реактивной силой .

Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

(3.1.4)

которое впервые было выведено И.В.Мещерским (1859 - 1935).

Применим уравнение (3.1.3) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса , то C = u ln . Следовательно,

. (3.1.5)

Это соотношение называется формулой Циолковского.