Методические указания и задания на контрольные работы № 4, 5, 6

Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная математика» РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную нумерацию, которая включает номер раздела из программы по математике для соответствующей специальности, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 7, в контрольной работе №4 решает задачи 15.1.7, 15.2.77, 16.1.7, 16.1.27; в контрольной работе №5 – 11.2.17, 11.3.17, 11.3.17, 10.1.47, 15.3.47; в контрольной работе №6 – 17.2.7, 17.2.37, 17.2.47, 17.3.17, 19.1.17, 19.3.7.

Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов математических дисциплин, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе по математике для своей специальности (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).

Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента. В конце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.

В каждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

Дифференциальные уравнения. Теория функций

Комплексного переменного.

15.1.1 – 15.1.10. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.Сделать проверку.

15.1.1. ; 15.1.2. ;

15.1.3. ; 15.1.4. ;

15.1.5. ; 15.1.6. ;

15.1.7. ; 15.1.8. ;

15.1.9. ; 15.1.10. .

15.2.71–15.2.80.Указать видчастного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

15.2.71. ; 15.2.72. ;

15.2.73. ; 15.2.74. ;

15.2.75. ; 15.2.76. ;

15.2.77. ; 15.2.78. ;

15.2.79. ; 15.2.80. .

 

16.1.1–16.1.10.Найти значения функции ω = f(z) при а) z = z₁, б) z = z₂.

16.1.1. ω = z² + z, а) z = 1 + i, б) z = 2 – i;

16.1.2. ω = z² + z, а) z = i, б) z = –1;

16.1.3. ω = z² + 5z, a) z = 1 – i, б) z = 2 + i;

16.1.4. ω = z² – z, a) z = 1+ i, б) z = z – i;

16.1.5. ω = z² – 2z, a) z = 1 + 2i, б) z = 3 – i;

16.1.6. ω = 2z² + 3z, a) z = 1 – 2i, б) z = 1 + 2i;

16.1.7. ω = 2z² + 3, a) z = 1 + i, б) z = – 2 + i;

16.1.8. ω = 3z² – 1, a) z = 2i, б) z = 3 – i;

16.1.9. ω = 2z² – 2, a) z = –2i, б) z = 3 + i;

16.1.10. ω = 2z² – 1, a) z = – 2 + 2i, б) z = 3 + 2i.

 

16.1.21–16.1.30.Выясните, в каких точках комплексной плоскости дифференцируема указанная функция. Чему равна производная в каждой из этих точек?

16.1.21. ; 16.1.22. ;

16.1.23. ; 16.1.24. ;

16.1.25. ; 16.1.26. ;

16.1.27. ; 16.1.28. ;

16.1.29. ; 16.1.30. .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5

Ряды. Ряды Фурье. Элементы теории поля.

Операционный метод.

11.2.11–11.2.20.Выяснить, какие из данных рядов сходятся и какие расходятся.

11.2.11. 11.2.12.

11.2.13. 11.2.14.

11.2.15. 11.2.16.

11.2.17. 11.2.18.

11.2.19. 11.2.20.

11.3.11–11.3.20.Определить область сходимости степенных рядов.

11.3.11. . 11.3.12. .

11.3.13. . 11.3.14. .

11.3.15. . 11.3.16. .

11.3.17. . 11.3.18. .

11.3.19. . 11.3.20. .

11.3.41–11.3.50.Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в указанном интервале. Выписать полученный ряд и три первых члена разложения отдельно. Построить график данной функции f(x), продолженной с данного интервала периодически на всю числовую ось.

11.3.41. f(x) = x +1 в интервале .

11.3.42. f(x) = x +1 в интервале .

11.3.43. f(x) = в интервале .

11.3.44. f(x) = +1 в интервале .

11.3.45. f(x) = в интервале .

11.3.46. f(x) = в интервале .

11.3.47. f(x) = в интервале .

11.3.48. f(x) = x –2 в интервале .

11.3.49. f(x) = x +1 в интервале .

11.3.50. f(x) = в интервале .

 

10.3.1–10.3.10.Проверить, является ли векторное поле соленоидальным и потенциальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал U.

10.3.1. = (yz – xy)+ (xz – x²/2 + yz²)+ (xy + y²z).

10.3.2. = 2xy+ (x² – 2yz)– y² .

10.3.3. = (3x² y – y³)+ (x³ – 3xy²) .

10.3.4. = (y + z)+ (x + z)+ (x + y) .

10.3.5. = (yz + 1)+ xz+ xy .

10.3.6. = yz∙cos(xy)+ xz∙cos(xy)+ sin(xy) .

10.3.7. = (12x – yz)+ (12y – xz)+ (12z – xy) .

10.3.8. = (x + 2yz)+ (y + 2xz)+ (z + 2xy) .

10.3.9. = (3x + yz)+ (3y + xz)+ (3z + xy) .

10.3.10. = (8x – 7yz)+ (8y – 7xz)+ (8z – 7xy) .

15.3.41–15.3.50.Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, применяя метод операционного исчисления. Сделать проверку найденного решения

15.3.41. y′′ ‒ y′ = te^t , y(0) = 1, y′(0) = 0.

15.3.42. y′′ ‒ 9y = e^-2t , y(0) = 0, y′(0) = 1.

15.3.43. y′′ + 9y = cos 3t, y(0) = 0, y′(0) = 1.

15.3.44. y′′ + 2y′ ‒ 3y = e^t, y(0) = 0, y′(0) = 0.

15.3.45. y′′ + 3y′ + 2y = t² + t, y(0) = 0, y′(0) = 1.

15.3.46. y′′ + 2y′ + y = cos t, y(0) = 1, y′(0) = 0.

15.3.47. y′′ + 4y = e^-t, y(0) = 0, y′(0) = 0.

15.3.48. y′′ + 5y′ ‒ 6y = e^t, y(0) = ‒ 1, y′ (0) = 0.

15.3.49. y′′ ‒ 4y′ + 4y = 1, y(0) = 0, y′ (0) = ‒ 1.

15.3.50. y′′ + y′ ‒ 2y = sin t, y(0) = 0, y′ (0) = 0.