Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры

Методические указания и задания на контрольные работы № 1, 2, 3

Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная математика» РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную нумерацию, которая включает номер раздела из сборника задач, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра номера которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 7, в контрольной работе №1 решает задачи 1.1.77, 2.1.27, 2.1.57, 2.2.7, 3.1.27; в контрольной работе №2 – 6.2.7, 6.3.17, 7.1.17, 7.1.47, 7.2.47; в контрольной работе №3 – 8.2.7, 8.2.27, 8.2.77, 9.1.7, 9.1.67.

Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов рабочей программы, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).

Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента. В конце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.

В каждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры

1.1.81–1.1.90.Даны координаты вершин пирамиды А₁, А₂, А₃, А₄. Найти площадь грани А₁А₂А₃ и объем пирамиды. Сделать чертеж.

1.1.71. А₁ (4; 2; 5), А₂ (0; 7; 2), А₃ (0; 2; 7), А₄ (1; 5; 0) .

1.1.72. А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 4) .

1.1.73. А₁ (4; 6; 5), А₂ (6; 9; 4), А₃ (2; 10; 10), А₄ (7; 5; 9) .

1.1.74. А₁ (3; 5; 4), А₂ (8; 7; 4), А₃ (5; 10; 4), А₄ (4; 7; 8) .

1.1.75. А₁ (10; 6; 6), А₂ (-2; 8; 2), А₃ (6; 8; 9), А₄ (7; 10; 3) .

1.1.76. А₁ (1; 8; 2), А₂ (5; 2; 6), А₃ (5; 7; 4), А₄ (4; 10; 9) .

1.1.77. А₁ (6; 6; 5), А₂ (4; 9; 5), А₃ (4; 6; 11), А₄ (6; 9; 3) .

1.1.78. А₁ (7; 2; 2), А₂ (5; 7; 7), А₃ (5; 3; 1), А₄ (2; 3; 7) .

1.1.79. А₁ (8; 6; 4), А₂ (10; 5; 5), А₃ (5; 6; 8), А₄ (8; 10; 7) .

1.1.80. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1) .

2.1.21. Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину отрезка , если ; . Сделать чертеж.

2.1.22. Составить уравнение прямой, проходящей через т. параллельно прямой . Сделать чертеж.

2.1.23. Составить уравнение прямой, проходящей через т. перпендикулярно прямой . Сделать чертеж.

2.1.24. Составить уравнение перпендикуляра, проходящей через середину отрезка , если ; . Сделать чертеж.

2.1.25. Составить уравнение прямой, проходящей через т. и параллельной прямой . Сделать чертеж.

2.1.26. Составить уравнение прямой, проходящей через т. и параллельной прямой . Сделать чертеж.

2.1.27. Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину отрезка , если ; . Сделать чертеж.

2.1.28. Составить уравнение прямой, проходящей через т. и параллельной прямой . Сделать чертеж.

2.1.29. Составить уравнение прямой, проходящей через т. и перпендикулярной к прямой . Сделать чертеж.

2.1.30. Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину отрезка , если ; . Сделать чертеж.

2.1.51. Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) . Сделать чертеж.

2.1.52. Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) . Сделать чертеж.

2.1.53. Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) . Сделать чертеж.

2.1.54. Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) . Сделать чертеж.

2.1.55. Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) . Сделать чертеж.

2.1.56. Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой

а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Сделать чертеж.

2.1.57. Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой

а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Сделать чертеж.

2.1.58. Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой

а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Сделать чертеж.

2.1.59. Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) . Сделать чертеж.

2.1.60. Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой

а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Сделать чертеж.

2.2.1. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А(5; 0) относятся как 2:1. Сделать чертеж.

2.2.2. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(–1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х=–4. Сделать чертеж.

2.2.3. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А(2; 0) и от прямой 5х+8=0 относятся, как 5:4. Сделать чертеж.

2.2.4. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4; 0), чем от точки В(1; 0). Сделать чертеж.

2.2.5. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А(2; 0) и от прямой 2х+5=0 относятся, как 4:5. Сделать чертеж.

2.2.6. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3; 0) вдвое меньше расстояния от точки В(26; 0). Сделать чертеж.

2.2.7. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0; 2) и от прямой у–4=0. Сделать чертеж.

2.2.8. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности х²+у²=4х. Сделать чертеж.

Замечание. Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками
фигуры Ф.

2.2.9. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки А(2; 6) и от прямой у+2=0. Сделать чертеж.

2.2.10. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А(–4; 0) втрое дальше, чем от начала координат. Сделать чертеж.

3.1.21–3.1.30.Систему линейных уравнений решить матричным методом и методом Гаусса (методом исключения неизвестных). Сделать проверку.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29. 3.1.30.