Собственные значения и собственные векторы

Собственным вектором линейного оператора (матрицы)

,

соответствующим собственному значению называется ненулевой вектор такой, что

. (6.2)

Таким образом, линейный оператор преобразует свой собственный вектор в вектор ему коллинеарный (сонаправленный с при и противоположно направленный при ). Любой ненулевой вектор , коллинеарный собственному вектору , также является собственным, соответствующим тому же собственному значению :

.

В координатах равенство (6.2) имеет вид

(6.3)

Это система линейных уравнений относительно координат , собственного вектора. Она имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю:

. (6.4)

Таким образом, для нахождения собственных значений получили квадратное уравнение (6.4). Оно называется характеристическим уравнением. Найдя из него собственное значение , надо подставить его в (6.3). Решив полученную систему линейных уравнений, найдем координаты и собственного вектора, соответствующего собственному значению .

Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейный оператор не имеет собственных векторов. Например, их нет у оператора поворота на угол , .

Аналогично, формула (6.2) определяет собственный вектор , соответствующий собственному значению , для квадратной матрицы -го порядка (линейного оператора в ) при любом . Собственные значения находятся из характеристического уравнения

.

Для каждого собственного значения координаты ,…, соответствующего собственного вектора находятся из системы линейных уравнений

Примеры решения задач

6.2.1.Дана матрицалинейного оператора . Записать равенство в координатной форме.

◄ По определению (формула (6.2))

►

6.2.2.Найти вектор , в который линейный оператор преобразует вектор .

◄ Линейный оператор преобразует вектор в его образ

. ►

6.2.3.Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы) .

◄ Собственные значения находим из характеристического уравнения (6.4):

,

корни которого и .

Система (6.3) для нахождения координат и собственных векторов в рассматриваемом случае имеет вид

(6.5)

Подставим в нее :

Полагая – произвольным, находим . Таким образом, векторы , где – собственные векторы, соответствующие собственному значению , то есть (рис 6.2).

Подставим в (6.5) :

Полагая – произвольным, находим . Таким образом, векторы , где – собственные векторы, соответствующие собственному значению , то есть (рис 6.2) .

Возьмем и разложим произвольный вектор по базису из векторов , : . Тогда его образ

,

то есть действие оператора на произвольный вектор состоит в «растяжении» его по направлениям собственных векторов и , соответственно в и раз (рис 6.2). ►

Рис. 6.2. Действие оператора на параллелограмм, построенный на собственных векторах.