Метод Гаусса решения линейных систем

Метод Гаусса для невырожденных квадратных линейных систем (3.1) состоит в том, что

1) с помощью элементарных преобразований:

а) перестановки любых двух уравнений местами;

б) прибавление к любому уравнению другого уравнения, умноженного на число

система приводится к равносильной системе

(3.4)

с треугольной основной матрицей, имеющей тот же определитель, что и матрица , а потому с ненулевыми диагональными элементами , , …, (прямой ход метода);

2) из системы (3.4) последовательно находятся значения неизвестных, начиная с последнего (обратный ход метода):

,…, , .

Заметим, что невырожденность квадратной линейной системы, то есть условие , до начала решения проверять не нужно; если система приводится к виду (3.4), то она невырожденная.

Метод Гаусса можно распространить на любую линейную систему (3.1), добавив к числу элементарных преобразований

в) перенумерацию неизвестных;

г) удаление «нулевого уравнения» , которому удовлетворяет любой набор чисел .

Если по ходу преобразований встретится уравнение вида , где , то оно не имеет решений и, тем более, вся система не имеет решений – несовместна.

Если такое уравнение не встретилось, то система преобразуется в равносильную систему из уравнений

(3.5)

где все те же неизвестные , но возможно пронумерованные в другом порядке, а числа , ,…, не равны нулю.

Если , то, как и выше, обратным ходом получаем единственное решение. Система определенна.

Если , то неизвестным придаем произвольные значения и из (3.5) обратным ходом выражаем последовательно через . В итоге имеем бесконечное множество решений, зависящих от произвольных постоянных , меняя которые получим все решения. Таким образом, в этом случае система неопределенна.

Примеры решения задач

3.2.1.Решить линейную систему

(3.6)

Решение 1 (По формулам Крамера).

◄ Линейная система (3.6) – квадратная: число уравнений равно числу неизвестных – трем. Определитель основной матрицы (из коэффициентов при неизвестных)

то есть система невырожденная, и можно применять формулы Крамера (3.3). Составим и вычислим определители , , заменив в -й столбец на столбец свободных членов:

, , .

По формулам Крамера (3.3) , , .►

Решение 2 (Матричным методом – с помощью обратной матрицы).

◄ Линейную систему (3.6) можно записать в виде одного матричного уравнения , где – основная матрица системы, – матрица-столбец из неизвестных , – матрица-столбец из свободных членов. Матрица, обратная к , была вычислена в примере 2.2.5. Решение системы находим по формуле (3.2):

,

то есть .►

Решение 3 (Методом Гаусса).

◄ Прямой ход метода:

Шаг 1. Ко второму уравнению прибавляем первое, умноженное на ( ), к третьему прибавляем первое, умноженное на ( ).

Шаг 2. К третьему уравнению прибавляем первое, умноженное на ( ).

Обратный ход метода: Начиная с последнего уравнения, последовательно находим :

Замечание. Разумно упростить процедуру, выписывая только матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов (расширенную матрицу системы):

На последнем шаге прямого хода мы для наглядности все-таки вернулись к подробной записи системы. ►

3.2.2.Решить линейную систему

◄ Решаем методом Гаусса. Прямой ход метода:

Шаг 1. Первое уравнение заменим на разность между вторым и первым. Цель – получить 1 в качестве коэффициента при в первом уравнении.

Шаг 2 . Ко второму уравнению прибавляем первое, умноженное на (–3), к третьему прибавляем первое, умноженное на (–5), к четвертому прибавляем первое, умноженное на (–7).

Шаг 3. К третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на ( ), к четвертому прибавляем второе, умноженное на (–3).

Шаг 4. Отбрасываем нулевые уравнения.

Обратный ход метода: Неизвестным и можно придать произвольные значения: , . Тогда

, .

Таким образом, все решения (общее решение) системы задаются формулами , , , , где и – произвольные числа. Меняя и , мы получим любое решение. ►