Каноническое разложение многочлена на множители

1) Если – разложение многочлена на неприводимые множители и – старшие коэффициенты многочленов соответственно, то это разложение можно записать в виде: , где – неприводимый многочлен со старшим коэффициентом, равным 1 .

. В этой форме разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

2) В разложении среди сомножителей могут быть равные и их можно объединить в степени. Тогда разложение примет вид: , где – попарно различные неприводимые над Р многочлены со старшими коэффициентами, равными 1 (нормированные многочлены), . Такое разложение многочлена называют каноническим разложением многочлена f(x) на множители.

ВОПРОС № 9 Разложение многочлена на неприводимые множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.

п. 1. Многочлены над полем комплексных чисел .

Опр.1. Многочлен кольца степени называется приводимым над полем , если , такие что , причем и . В противном случае, многочлен называется неприводимым над .

Справедлива так называемая основная теорема алгебры:

Теорема 1. Всякий многочлен с комплексными коэффициентами степени имеет хотя бы один комплексный корень.

Внимание: необходимо знать понятие корня многочлена: если , то называется корнем , если .

Теорема 2. Над полем комплексных чисел неприводимыми являются только многочлены первой степени.

Доказательство вытекает из теоремы 1.

Как известно, всякий многочлен степени может быть представлен в виде: , где – попарно различные нормированные неприводимые над Р многочлены (это так называемое каноническое разложение многочлена ).

Поэтому имеет место следующее предложение: Каноническое разложение многочлена степени имеет вид: , где – попарно различные комплексные числа.

Следствие: Многочлен степени имеет ровно п корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

п. 2. Многочлены над полем действительных чисел .

Пусть – кольцо многочленов над полем действительных чисел .

Напомним, что комплексное число , где называется мнимым, если . Если , то через будем обозначать сопряженное комплексное число .

Используя свойства сопряженных комплексных чисел ,

если , легко доказать следующее предложение:

Предложение 1: Если многочлен из кольца и z – произвольное комплексное число, то .

Доказательство: Пусть ▲.

Теорема 3. Пусть произвольный многочлен из кольца . Если – мнимый корень многочлена , то число также является корнем этого многочлена.

Доказательство: Так как – корень , то . Тогда по предложению 1, – корень . ▲.