Свойства простых чисел

1) Всякое натуральное число, большее 1, делится по крайней мере на одно простое число.

Доказательство: Пусть и . Если п - простое, то все доказано, т.к. .

Если п - составное, то п делится на число , меньшее, чем п. Если - простое, то свойство доказано: . Если - составное, то и и т.д.

Процесс выделения делителей оборвется через конечное число шагов, когда мы придем к простому делителю. ▲.

2) Любое целое число или делится на простое число р, или взаимно просто с ним.

Доказательство: Пусть а - целое число; обозначим . Так как - простое, то или а тогда , или а тогда а и р взаимно просты. ▲.

3) Два различных простых числа взаимно просты.

Доказательство: Пусть - простые и Для определенности пусть (докажем это от противного – пусть и т.к. то , ). ▲.

4) Если произведение двух целых чисел делится на простое число, то хотя бы один из сомножителей делится на это простое число.

Доказательство: Пусть р – простое число,

Если то всё доказано. Если то по свойству 2, по свойствам взаимно простых чисел ▲.

Замечание: использовано следующее свойство взаимно простых чисел:

Доказательство:

▲.

Следствие: Если произведение нескольких чисел делится на простое число р, то хотя бы один из сомножителей делится на это число р. (доказательство методом математической индукции по числу п сомножителей).

Теорема 1. (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ).Всякое натуральное число, большее 1, может быть представлено в виде произведения простых сомножителей и два таких разложения могут отличаться только порядком следования сомножителей.

Доказательство: 1. Возможность указанного представления. Применим метод математической индукции.

1) Для числа 2 утверждение теоремы тривиально.

2) Допустим, что теорема верна для всех натуральных чисел, меньших п.

3) Докажем теорему для числа п. Если п - простое число, то всё доказано.

Если п - составное число, то Тогда в силу индуктивного предположения допускают разложение на простые множители:

Тогда и возможность разложения числа п доказана.

2. Однозначность разложения. Для доказательства однозначности разложения с точностью до порядка следования сомножителей также применим метод математической индукции.

1) Для числа 2 утверждение справедливо, т.к. 2 – простое число.

2) Допустим, что утверждение верно для всех натуральных чисел, меньших п.

3) Докажем утверждение для числа п. Допустим, что п двумя способами разложено в произведение простых сомножителей: и , где простые числа .

Тогда один из сомножителей произведения делится на .

Тогда Но число Тогда по индуктивному предположению для т утверждение справедливо, т.е. два разложения числа т могут отличаться только порядком следования сомножителей. Следовательно, простые числа только порядком следования. Значит утверждение верно и для числа п.

Итак, по методу математической индукции утверждение верно для любого натурального числа, большего 1. ▲.

Замечание: Среди сомножителей в разложении могут быть равные. Их произведение принято записывать в виде степеней. Пусть различные простые сомножители числа п и число входит в разложение числа п раз , тогда число п можно записать в виде: . Такое разложение называется каноническим разложением числа п.

Пример: Найдем каноническое разложение числа 1176.

Значит