Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа

Задание 1. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 2.

1. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина и уравнения двух медиан и Сделать чертеж.

2. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а также уравнения высоты и медианы , проведенных из различных вершин. Сделать чертеж.

3. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон и , и основание высоты AD. Сделать чертеж.

4. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями и . Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей. Сделать чертеж.

5. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла и уравнение гипотенузы Сделать чертеж.

6. Даны две вершины треугольника и и точка пересечения высот . Найти третью вершину С. Сделать чертеж.

7. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями и , диагонали его пересекаются в точке . Найти длины его высот. Сделать чертеж.

8. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: и , и уравнение одной из его диагоналей: . Сделать чертеж.

9. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , и уравнения высот и , где М-точка пересечения высот. Сделать чертеж.

10. В треугольнике АВС даны уравнение стороны , уравнение высоты , уравнение высоты , где М-точка пересечения высот. Написать уравнения сторон АС, ВС и высоты СМ. Сделать чертеж.

Задание 3.

1. Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки и от оси . Сделать чертеж.

2. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек и равна 50. Сделать чертеж.

3. Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки вдвое меньше расстояния до точки . Сделать чертеж.

4. Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек и равен 4. Сделать чертеж.

5. Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки и от оси . Сделать чертеж.

6. Написать уравнение кривой, каждая точка которой отстоит от точки вдвое дальше, чем от прямой . Сделать чертеж.

7. Написать уравнение кривой, для каждой точки которой расстояние от точки вдвое меньше расстояния от прямой . Сделать чертеж.

8. Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек и равна 2 . Сделать чертеж.

9. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек и равна 27. Сделать чертеж.

10. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой расстояния от начала координат и от точки относятся как 3:2. Сделать чертеж.

Задание 4. Дана функция на отрезке . Требуется:

1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток , начиная от ; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это будет линия; 4) сделать чертеж.

1. 2.

3. 4.

5. 5.

7. 8.

9. 10.

Задание 5. Дано комплексное число . Требуется: 1) записать число в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.