Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве

Любой вектор в декартовой системе координат может быть представлен в виде

где координаты вектора орты координатных осей.

Вектор с началом в точке и концом в точке имеет вид:

,

то есть .

Длина отрезка называется длиной (модулем) вектора, обозначается = и вычисляется по формуле

.

Сумма векторов и определяется формулой

Произведение вектора на число определяется формулой

.

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

.

Скалярное произведение векторов и вычисляется по формуле:

.

Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:

1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. ;

2) вектор перпендикулярен векторам и ;

3) векторы образуют правую тройку, то есть они ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты .

Модуль векторного произведения векторов и численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

Векторное произведение векторов и вычисляется по формуле:

.

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение вектора на вектор , то есть .

Модуль смешанного произведения векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

Пусть Тогда

.

Уравнение любой плоскости может быть записано в виде:

где .

Вектор , перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , имеет вид

Угол между плоскостями и определяется следующим образом:

.

Расстояние от точки до плоскости, определяемой уравнением , находится по формуле

.

Прямая в пространстве может быть задана уравнениями двух плоскостей

,

пересекающихся по этой прямой, или каноническими уравнениями прямой

,

которые определяют прямую, проходящую через точку и параллельную вектору . Вектор называется направляющим вектором прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две точки и , имеют вид:

.

Угол между двумя прямыми и определяется следующим образом:

.

Угол между прямой и плоскостью определяется следующим образом:

.

Если точка делит отрезок АВ, где , , в отношении , то координаты точки М определяются по формулам:

.

Задание 1. Даны координаты вершин пирамиды : , . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

Решение. 1) Для определения длины ребра найдем координаты вектора : . Тогда длина ребра будет равна длине вектора :

.

2) Найдем угол между ребрами и . Для этого, как и раньше, найдем координаты вектора , определяющего ребро . Получим и .

Тогда угол между ребрами и можно найти из определения скалярного произведения двух векторов:

.

Следовательно, .

3) Чтобы найти угол между ребром и гранью , определим нормальный вектор плоскости . Из определения векторного произведения двух векторов имеем:

,

т.е. и . Тогда , .

Так как нормальный вектор перпендикулярен плоскости , то угол между ребром и гранью определяется как .

4) Площадь грани можем найти по формуле . Следовательно, кв. ед.

5) Объем пирамиды, построенной на векторах, равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах. Для определения объема параллелепипеда воспользуемся свойством смешанного произведения векторов. В результате имеем:

Таким образом, куб.ед.

6) Составим уравнения прямой . Для этого воспользуемся уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки и :

.

Получаем:

.

7) Уравнение плоскости можно найти по формуле: , где , . Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: или после упрощения .

8) Чтобы составить уравнение высоты , опущенной из вершины на грань , воспользуемся формулой:

,

где , - направляющий вектор высоты пирамиды . Так как вектор перпендикулярен грани , то в качестве можно взять вектор - нормальный вектор плоскости .

Следовательно, имеем: или .

9) Сделаем теперь чертеж: