П.3. Проекции вектора. Расположение вектора в пространстве. Операции над векторами

Определение 12.Проекцией вектора на ось l называется длина вектора этой оси, заключенного между проекциями a и b его начальной точки А и конечной точки В, взятая со знаком «плюс», если направление совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если эти направления противоположны.

,

Замечание. Проекцией точки А на ось l называется точка А⁰ такая, что прямая АА⁰ пересекает ось l под углом 90⁰ в точке А⁰.

Теоремы о проекциях:

Теорема 2. , где α – угол между вектором и положительным направлением оси l.

Теорема 3. . Проекция ломаной равна проекции замыкающего контура.

Теорема 4. . (без доказательства)

Определение 13. Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.

, координаты вектора . Если A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то

Длина вектора находится по формуле:

.

Следствие из теоремы 1. Вектор коллинеарен вектору тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: .

Замечание 1. , где λ – коэффициент пропорциональности.

Замечание 2. .

Ортами координатных осей (Ох), (Оy), (Оz) называются векторы соответственно. .

Рассмотрим радиус-вектор , построенный на векторах (по правилу параллелепипеда), причем , , : (*).

Так как , то подставив в (*), получим

разложение вектора по ортам .

Пусть α, β, γ – углы между вектором и координатными осями, тогда в силу теоремы 2 получим, что

Определение 14.Направляющими косинусами вектора называются , где α, β, γ – углы между вектором и координатными осями, причем , , .

Замечание. Из определения видно, что направляющие косинусы являются координатами орта вектора , т.е.

.

Теорема(о направляющих косинусах). Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1:

.

(доказать самостоятельно)

Определение 15.Даны два вектора и , тогда координаты вектора их суммы и разности вычисляются по формулам:

, .

Определение 16. Произведением вектора на действительное число λ называется вектор такой, что .

Замечание. Для вектора n-мерного пространства справедливы все определения и теоремы.

Пример.Даны точкиМ₁(2; 1), М₂(–1;3) и вектор . Найти длину и направление вектора , координаты его орта, проверить коллинеарность векторов и , найти координаты вектора – 2 .

Решение. Найдем координаты вектора .

.

Найдем направляющие косинусы: , . Отсюда, , следовательно, , .

Координаты орта по замечанию к определению 14: .

По следствию к теореме 1 проверим коллинеарность векторов: для коллинеарности должно выполняться условие . Проверим: , следовательно, векторы и не коллинеарны.

Найдем координаты вектора – 2 .

Сначала найдем координаты вектора по определению 16: ,

тогда по определению 15:

– 2 .