Умножение вектора на скаляр

Векторная алгебра. Векторы.

П.1 основные определения.

Существуют скалярные и векторные величины. Скалярные характеризуются своим численным значением (например, температура, работа, плотность,…), а векторные, кроме численного значения, обладают также направлением в пространстве (например, сила, скорость,…).

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной В.

Начало вектора называется его точкой приложения.

Определение 2. Длиной вектора называется длина отрезка . Число, равное длине вектора, измеренного выбранной масштабной единицей, называется модулем.

Задать вектор – это значит задать его модуль и направление в пространстве.

Определение 3. Вектор называется единичным, если =1. Вектор называется нулевым или нуль-вектором, если . Нулевой вектор имеет любое направление.

Определение 4. Векторы и называются сонаправленными, если они параллельны (лежат на одной или параллельных прямых) и имеют одинаковое направление, если при этом направление не совпадает, то векторы называются противоположно направленными.

– сонаправлены. – противоположно направлены.

Определение 5.Векторы и называются равными, если .

Определение 6. Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с вектором , называется ортом вектора и обозначается .

=1.

Определение 7. Вектор, выходящий из начала координат, называется радиус-вектором.

С помощью параллельного переноса векторы можно перемещать в любое место пространства.

П.2 Линейные действия над векторами.

Сложение векторов.

А) Правило треугольника: + = .

В) Правило параллелограмма: вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .

С) Для сложения трех векторов в пространстве существует правило параллелепипеда: + + = .

Свойства сложения: 1. + = +

2. + + = ( + )+ = + ( + )

3. + =

4. Если + + = , то

Вычитание векторов.

Определение 8.Противоположным вектором к вектору называется вектор , причем .

Вычесть вектор, значит прибавить противоположный (по правилу параллелограмма):

Или по правилу треугольника

Вывод из 1 и 2 :

векторы суммы и разности векторов направлены по диагоналям параллелограмма, построенного на векторах и .

Умножение вектора на скаляр.

Определение 9.Пусть λ – действительное число, тогда произведением числа λ на вектор называется вектор такой, что 1) 2) , если и , если .

, причем .

Умножение вектора на число – это растяжение или сжатие вектора с сохранением или с изменением на противоположное направления.

Свойства произведения: 1. 2. 3. 4.

5. λ ( + ) = λ + λ 6. 7. 8.

Определение 10. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.

коллинеарен любому вектору.

Теорема 1(о необходимом и достаточном условии коллинеарности векторов). Равенство , где λ – действительное число, справедливо тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, при этом если , то , если , то , если λ = 0, то направление любое.

Доказательство.

Необходимость ( ). Пусть , тогда по определению 9 векторы и лежат на одной или параллельных прямых, совпадают или противоположны по направлению. Тогда. По определению 10, векторы и коллинеарны.

Достаточность ( ). Пусть векторы и коллинеарны, тогда по определению 10, они расположены на одной или параллельных прямых, при этом они совпадают или противоположны по направлению. Такие векторы можно получить, используя определение 9, т.е. , где λ – действительное число. (что и требовалось доказать)

Определение 11. Векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.